《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用解答题专项1第3课时利用导数研究函数的零点课件新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用解答题专项1第3课时利用导数研究函数的零点课件新人教A版（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时利用导数研究函数的零点考点考点一一 确定确定函数零点的个数函数零点的个数(多考向探究预测多考向探究预测)考向1利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1(2024福建宁德模拟)已知函数f(x)=ex-4sin x,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)证明:f(x)在0,+)上有两个零点.(1)解因为f(x)=ex-4sin x,所以f(x)=ex-4cos x,则f(0)=1,f(0)=-3,故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.(2)证明设g(x)=f(x)=ex-4cos x,则g(x)=ex+4sin x.
2、显然当x(0,时,g(x)0,当x(,+)时,g(x)e-40,所以f(x)在(0,+)上单调递增.对点训练1(2024江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中aR.(1)若a=e2-2,求函数f(x)在0,2上的最值;(2)当a0,得xln 2;令f(x)0,得x1,所以f(x)在0,2上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4.考向2数形结合确定零点个数例2(2024江西赣州模拟)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的最值;(2)讨论函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数.(2)函数g(x)=aex-ln x-1的零点个数就是方程aex-ln x-1=0的解的
3、个数,整理对点训练2(2024重庆巴蜀期末)已知函数f(x)=ax-ln x-2.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的零点个数.解(1)当a=1时,f(x)=x-ln x-2(x0),f(x)=1-(x0),令f(x)0,则x1;令f(x)0,则0 xe时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点;当a=e或a0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点;当0ae时,函数f(x)没有零点;当a=e或a0时,函数f(x)有1个零点;当0a0入手,分类讨论f(x)0解的情况,从而确定函数单调性;(2)首先由(1)中函数的单调性得到函数最值,确定参数a的取值范围,然后再寻
4、找恰当的区间端点,根据零点存在定理确定参数的取值范围.不能忽视函数的定义域 不能漏掉这种情形 分类讨论后对结果进行综述 借助(1)问的结果 寻找恰当合理的区间端点值 构造函数 根据零点存在定理判定 对点训练3(12分)(2024辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)函数f(x)在区间(1,e上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.考点考点三三 可可化为函数零点的参数问题化为函数零点的参数问题例4(2023北京,20)设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值;(
5、2)设函数g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.解(1)因为f(x)=x-x3eax+b,所以f(x)=1-(3x2+ax3)eax+b,因为曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=-x+1,所以f(1)=-1+1=0,f(1)=-1,则(3)由(1)得f(x)=x-x3e-x+1(xR),f(x)=1-(3x2-x3)e-x+1,由(2)知f(x)在(0,x1),(x2,+)上单调递减,在(-,0),(x1,x2)上单调递增,当x0时,f(-1)=1-4e2 0,即f(-1)f(0)0,所以f(x)在(-,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-1x
6、30,此时当xx3时,f(x)0,f(x)单调递减;当x3x0,f(x)单调递增;所以f(x)在(-,0)上有一个极小值点.当x(0,x1)时,f(x)在(0,x1)上单调递减,则f(x1)=f(3-)f(1)=1-20,故f(0)f(x1)0,所以f(x)在(0,x1)内存在唯一零点,不妨设为x4,则0 x4x1,此时当0 x0,f(x)单调递增;当x4xx1时,f(x)f(3)=10,故f(x1)f(x2)0,所以f(x)在(x1,x2)上存在唯一零点,不妨设为x5,则x1x5x2,此时当x1xx5时,f(x)0,f(x)单调递减;当x5x0,f(x)单调递增,所以f(x)在(x1,x2)
7、上有一个极小值点;当xx2=3+3时,3x2-x3=x2(3-x)0,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x2,+)上无极值点.综上可知,f(x)在(-,0)和(x1,x2)上各有一个极小值点,在(0,x1)上有一个极大值点,共有3个极值点.对点训练4(2024广东深圳模拟)已知函数f(x)=xex+ax2(aR).(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数g(x)=xln x+xex-f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.(2)因为g(x)=xln x+xex-xex-ax2=xln x-ax2,定义域为(0,+),则g(x)=ln x+1-2ax.又g(x)有两个极值点,所以g(x)有两个变号零点,即方程ln x+1-2ax=0(x(0,+)有两个不相等的实数根.
