《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用解答题专项1第2课时利用导数证明不等式课件新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第4章一元函数的导数及其应用解答题专项1第2课时利用导数证明不等式课件新人教A版（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时利用导数证明不等式考点考点一一 作作差构造函数法证明不等式差构造函数法证明不等式例1(12分)(2023新高考,19)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;突破口:结合ex0,对a分类讨论.(2)证明:当a0时,f(x)2ln a+.关键点:构造函数,确定最值,证明不等式.审题指导:(1)求导数后,结合ex0从而对参数a分类讨论,确定f(x)的符号,得到函数的单调性.(2)思路1:结合(1)中函数的单调性得到函数的最小值为1+a2+ln a,从而将欲证不等式化为a2-ln a0,然后构造函数通过最值证得结果.思路2:首先证明exx+1成立,然后借助该不等式将
2、f(x)进行放缩,转化为证明不等式a2-ln a0,再构造函数通过最值证得结果.不要漏掉这种情形 当a0时,令f(x)=aex-1=0,解得x=-ln a,当x-ln a时,f(x)-ln a时,f(x)0,f(x)在(-ln a,+)上单调递增.分类讨论后要将结果进行综述 借助(1)中单调性得到函数的最小值 将欲证不等式转化构造函数 确定函数最小值证得结果 首先证明常用放缩不等式exx+1 对f(x)放缩 构造函数将欲证不等式进行转化 构造函数 确定函数最小值证得结果 对点训练1(12分)(2024北京密云模拟)已知函数f(x)=xln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处
3、的切线方程;考点考点二二 拆分拆分构造两个函数法证明不等式构造两个函数法证明不等式当x(0,e)时,h(x)0,h(x)单调递增,当x(e,+)时,h(x)g(x).(2)证明当a=2时,g(x)=e2ln x-2ex,且函数g(x)的定义域为(0,+),要证明f(x)g(x),即证明当x0时,(x2-2x)exe2ln x-2ex,只需要证明当x0时,设(x)=(x-2)ex+2e,则(x)=(x-1)ex,令(x)=0,得x=1,当0 x1时,(x)1时,(x)0,所以(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+)上单调递增,故h(x)=0,得x=e,当0 x0,当xe时,h(x)0时,(x)
4、h(x),且等号不同时成立,所以当x0时,(x)h(x),故当a=2时,f(x)g(x)得证.考点考点三三 放放缩法证明不等式缩法证明不等式例3(2024福建厦门模拟)已知函数f(x)=aex+2x-1(其中常数e=2.718 28是自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:对任意的a1,当x0时,f(x)(x+ae)x.对点训练3(2024福建泉州模拟)已知函数f(x)=ex-axsin x-x-1(aR).(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=时,证明:对任意的x(0,+),f(x)0.(1)解当a=0时,f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.令f(x)0,解得x0,f(x)在(0,+)上单调递增;令f(x)0,解得x0时,f(x)0时,f(x)0,当x0时,f(x)eax-exex-ex=0,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增.f(0)=-1,f(x)-1,不满足题意.当a0时,f(x)eax-ex1-ex0且等号不恒成立,f(x)在(0,+)上单调递减.f(0)=-1,f(x)0,x+,h(x)0,h(x)在(0,x0)上单调递增,h(x)h(0)=0,当x(0,x0)时,f(x)=eaxh(x)0,f(x)在(0,x0)上单调递增.f(0)=-1,f(x)-1,不满足题意.
