《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最值课件新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第3章函数与基本初等函数第2节函数的单调性与最值课件新人教A版（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2节函数的单调性与最值课标解读1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够利用函数的单调性解决有关问题.1 强基础 固本增分2 研考点 精准突破目录索引1 1 强基础强基础 固本增分固本增分知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义单调性增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为D,区间ID,如果x1,x2I x1,x2的取值具有任意性且属于同一区间当x1x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,就称它是增函数当
2、x1x2时,都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,就称它是减函数f(x1)f(x2)单调性增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的微点拨函数单调性定义的等价形式(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的.微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗?提示不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而
3、“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的.单调递增单调递减单调区间2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)xD,都有;(2)x0D,使得 函数的最值一定是某个自变量对应的函数值(3)xD,都有;(4)x0D,使得结论M是y=f(x)的最大值最大值是所有函数值中最大的一个M是y=f(x)的最小值f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M 微点拨1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最
4、小值.微思考已知函数f(x)=,对于xx|x0都有f(x)0,能否认为f(x)=的最小值为0?提示不能.尽管f(x)0,但不存在xx|x0使得f(x)=0,所以不能说f(x)=的最小值为0.常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若kf(2).()2.若函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递增,则f(1)f(3).()3.函数f(x)=的单调递减区间是(-,1)(1,+).()4.若函数f(x)在1,6上的
5、最小值是f(6),则f(x)在1,6上单调递减.()题组二回源教材5.(人教A版必修第一册3.2.1节例5改编)已知函数f(x)=,x2,6,则函数的最大值是,最小值是.20.4解析因为函数f(x)=在区间2,6上单调递减,所以,函数f(x)=在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4.6.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第1题)已知函数f(x)的定义域为-1,5,且在区间-1,2上单调递增,在区间2,5上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是.(1)f(0)f(2);(3)f(x)在区间-1,5上有最大值,而
6、且f(2)是最大值;(4)f(0)与f(3)的大小关系不确定;(5)f(x)在区间-1,5上有最小值;(6)f(x)在区间-1,5上的最小值是f(5).(1)(3)(4)(5)解析函数f(x)在区间-1,2上单调递增,f(0)f(2),故(1)正确.函数f(x)在区间2,5上单调递减,f(3)0,解得x5或x0时,有f(x)0,则不等式f(5-x2)+f(3x-x2)0的解集为()B解析由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),f(0)=0.由于函数f(x)的定义域为R,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),则f(x)
7、为奇函数.任取x1,x2R,且x10,f(x2-x1)0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)f(x2),因此函数f(x)在R上为减函数.由f(5-x2)+f(3x-x2)0可得f(5-x2+3x-x2)0,整理得2x2-3x-50,解得-1x ,故选B.考点二求函数的单调区间考点二求函数的单调区间例2(1)(2024四川成都模拟)已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为()A.(-2,+)B.(2,+)C.(-,2)D.(-,-2)C解析由函数f(x)=ax+1在R上单调递减,可知a2时,f(x)=x2-
8、2x,则函数f(x)在区间(2,+)上单调递增,所以f(x)=|x-2|x的单调递减区间是1,2,故选A.(3)(2024江苏南通模拟)设函数f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0a0得-2x4,即函数y=g(f(x)的定义域为(-2,4),显然函数f(x)在区间(-2,1)上单调递增,在区间(1,4)上单调递减,而g(x)=logax(0a1)在区间(0,+)上单调递减,因此函数y=g(f(x)在区间(-2,1)上单调递减,在区间(1,4)上单调递增,所以函数y=g(f(x)的单调递减区间为(-2,1),故选B.考点三函数单调性的应用考点三函数单调性的应用(多考向探究预测多考向
9、探究预测)考向1利用单调性比较大小例3(2024黑龙江绥化模拟)若正数a,b满足2a-4b=log2b-log2a,则a与2b大小关系为.a0),则f(a)=f(2b)-1,所以f(a)f(2b),又因为y=2x与y=log2x在区间(0,+)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在区间(0,+)上单调递增,所以a2b.对点训练2(2024江苏徐州模拟)已知函数f(x)=2x+x3,记a=f(log0.32),b=f(20.3),c=f(0.32),则()A.abcB.acbC.cbaD.cabB解析因为y=2x,y=x3在xR上单调递增,所以f(x)=2x+x3在xR上单调递增,又log
10、0.32log0.31=0,1=2020.321=2,00.32=0.091,所以f(log0.32)f(0.32)f(20.3),所以ac3,则实数a的取值范围是.(0,1)考向3利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-,2上单调递减,则a的取值范围是()A.1,+)B.(1,+)C.2,+)D.(2,+)AB变式探究1(变条件)本例(1)中,若f(x)不变,令g(x)=f2(x),且对于任意x1x22,都有0”,则实数a的取值范围是.(1,+)考点四求函数的最值考点四求函数的最值例6求下列函数的最值:规律方法求函数最值的五种常用方法及其思路单调性法 先确定函数的单调性,再由单调性求最值图象法先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值基本不等式法先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值对点训练4(2024山东枣庄模拟)若函数f(x)=在区间0,1上的最大值为3,则实数m=.3
