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1、2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则 Lagrange 插值公式所有的基函 数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下 介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有 插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。、 差商及其性质：1、相关定义设给出函数f (x)在点x，x，x，上 的函数值 ，则有： 01nf (x ) - f (x )称f x0, xi二X 为函数f( x)在01X X八丿10x 、 x 点的一阶差商。0 一1 阶差商的差商f x0, xi，x2=fx0,x2 fx0,x1称为函数f (x)在x , x和01n 1阶差商的差商f x，,x
2、f x ,x，,x =0-0 1 nx 一 x212 点的二阶差商2,x 一 f x，,x , x n 一 2 n0n 一 2 n 一 1x - xnn 一1称为函数f(x)在x,X，,x点的n阶差商见插商表 4-1 2、性质：性质1 :差商f x ,x，,x 可表示为函数值的线 01n性组合，即 f x , x ,x a f (x ),01 ni ii = 0其中：a = 1/(x - x )。iijj=0, j 工 i该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：f x ,x,x = f xi,x0,x = 01 n10 nf x , x , x 1 n 0这就是差商的对称性。性质2#1fX,
3、x -fx ,x 1f X , X , X =1n0n j01 n vn 0 f X0,n - X01，,Xn二 f X1，Xn-1，X0,Xn=f X1，,Xn-f X1，,Xn -1，X0=f % Xn - f X0，% X_1性质3设/(兀)在所含节点x ,x，,x的区间01na,b上有n阶导数，则在该区间内至少有一点匕ea,b，使得：f x ,x，,x = f(n)( )/n!01n由该性质可知，若f (x )为次多项式，则其n阶 差商为一常数。也就是说，当一个函数的 n 阶差商 接近于常数时，那么用n次多项式近似是恰当的。例：设 f (X) = x7 + 5x3 +1，求差商 f 1
4、20,21 J， f20,21,22，f20,21,.,27和f2,21,.,27,28卜 解：f (1) = 7, f =27 + 5 x 23 +1 = 169,f (4) = 47 + 5 x 43 +1 = 16705_ 20,21_=号 = 169 - 7 = 162=5566f -f (1) = 16705 - 741 3厂if 20,22 f 20,21f 20,21,22 = L L 22 - 21f 20,2i,.,27f 20,2i,.,28營=0 = 05566 - -162 = 27022f（7）C ） = 7! = 17! - 7!-二、牛顿（Newton ）插值多项
5、式： 设x是a#上的一点，则由差商的定义可以得到一系列的等式：f x,x = f（x） f（xo）0x - x0n f （x） = f （x ） + f x, x （x 一 x ）0 0 01 fx，x0 - fx0,叫f x, x x1 =00 101v v/V e/V1n f x, x = f x , x + f x, x , x （x 一 x ）0 0 1 0 1 1f x, x , x = f x , x , x + f x, x , x , x （x 一 x ）0 1 0 1 2 0 1 2 2f x,x，,x = f x ,x，,x + f x,x ,x，,x （x 一 x ）0n
6、 一10 1 n 0 1 n n依次把后式代入前式，最后可得：f (x) = f (x0) + f x0, X( x - x0)+f x0 X，x2(x - X0)(x - X)+ +fx0,，xn(x x0)(x xn-)+f x，x，x (x-x0)(x-x )0 n0 n记P (x) = f (x0) + f x0,x(x-x0)+f x0, x9 x2( x - x0)( x - x) + .+ fx，,x (x一x )(x x) ( 1 )0 n 0n -1R (x) = fx,xx (x一x )(x一x )(x一x )n0n01n(2)则：f(x)= P (x)+ R (x)(3)
7、nn由于P (x)是一个次数* n的多项式，又由n(2), (3)式可知P (x)是满足插值条件的插值多n项式。称(1)式为 Newton 插值多项式。注意：Newton插值多项式与Lagrange插值多项式 是同一函数f (x)的插值多项式中两种不同的表达 形式，它们实质上是同一个多项式。要计算Newton插值多项式p( x)，只要计算出n各阶差商就可得到了。例：已知函数f (x)的函数表如下:0.4055065080090xif (x) 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 -i A 亠亠 - ，求四次NeWon插值多项式，并由此求f(0.596)
8、的近似值。解：计算函数f (x)的差商表如下:xi0.40f (x )i0.41075一阶差商二阶差商三阶差商兀阶差商0.550.578151.116000.650.696751.144000.280000.800.888111.193400.309600.197330.901.026521.231540.330110.200440.03110故f ( x )的四次NeWon插值多项式为:P(x)4=0.41075+1.11600(x - 0.4) + 0.28000(x - 0.4)( x - 0.55)+0.19733(% - 0.4)( x - 0.55)( x - 0.65)+0.03
9、11(% - 0.4)( x - 0.55)( x - 0.65)( x - 0.80) 则：f (0.596)沁 P (0.596) = 0.63195。例：给定数据表：xi12467/ ( x )i41011(x 2)( x 4) +1180(x 1)(x 2)( x 4)( x 6)求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 解：插值余项为：f (5)(,)f(x) P (x)二 fv J(x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7)45!,g (min(x,l),max(x,7)三、差分、等距节点下的 Newton 插值多项式：1 差分定义：设等距节点x = x + ih, i = 0
10、,1,2,i0其中 h 为常数，称为步长。设函数f (x)的值f = f (xj, 则有：一阶向前差分A 称为向前差分算子。一阶向前差分的差分为称为二阶向前差分。一阶向后差分V 称为向后差分算子。一阶向后差分的差分为称为二阶向后差分。一般地，函数f (X)的n阶差分可以递推的定义 为An f = An _i f- An-1 fJ iJ i+1J iV n f 二 V n1 f V n1 fiii-1规定零阶差分为A0 f = V0 f = f由以上定义可以算出差分与函数值之间的关系。例如=A(4f ) = A(f - f )= 一曲=f - 2f. + fiii+1 ii+1 i i+2 i+
11、1 i差分的基本性质：性质一：Amf. =Vmfii + m性质二：差商和差分的关系：f x ,x , x = 1 Amf0 1 m m!hm0f L ,x , x = 1 Vmf0 1 m m !hmm2. 等距节点的牛顿插值公式：Newton向前插值公式（利用向前差分代替差商） 用途：求x附近的函数值。0依次取等距节点x (i = 0,1, n),x = a, x = a + ihi0i9已知f = f(x )，修改牛顿插值公式可得： iiAfA 2 fP (x) = f + 0 (x x ) +0 (x x )(x x ) +n!hnn丿心曲 0丿201(x-x )(x一x )(x一x
12、)(x-x )01in 1令x = x + th, t g 0,n,又有x. = x + ih0i 0x 一 x = (t 一 i i)h, i = 0,1,2, niP (x) = P (x + th) = f +f t +f0 t(t -1) + nn 00 I!2!-Anf+01 （t 一 1）（t 一 n +1）n!上式称为 Newton 向前插值多项式。同样的可推出Newton向后插值公式（利用向后 差分代替差商） 用途：求x附近的函数值。nP (x) = P (x + th) = f +f + V 2 fn t (t + 1) + nn nn !2!_+ V fnt(t +1)(t
13、 + n -1)nT上式称为 Newton 向后插值多项式。若x在函数表的中间，可以考虑用适于表中间的 插值公式，我们这里就不说了。例：有如下表函数x101234111827试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前 插值公式和向后插值公式给出它的插值多项式。构造差分表：二 3 + 3t +1 (t 1)二 t2 + 2t + 3牛顿向后插值公式：P(x) = P (x + th) = 27 + 91 + 2 t (t +1) 1! 2!=27 + 9t +1 (t +1) = t2 + 10t + 27例：给出x3在x = 0（1）4的值，计算0.53 o 解：给出差分表：当 x = 05时，t = （0.5 一 0）/1 = 0.5，根据 Newton 向前 插值公式，分别求得单t 二 0 + 1X 0.5 二 0.5AfA2f严P (x) = f + 丿 0 t +丿 0 t(t -1)
