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1、关于代数、数论中的存在性问题(2010年2月寒假) 邹明一.关于代数中的存在性问题1.是否存在这样的正整数等比数列:仅5项其和为211?请说明理由.2. (a)设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1.求证:(b)证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z), x,y,z都不等于1,且xyz=1,使得上述不等式等号成立.3.是否存在这样的三角形:三边长皆为有理数,且有一内角的度数也是有理数?若存在,求出该内角度数的所有可能值;若不存在,请说明理由.4.设k是一个不小于3的正整数,是一个实数,如果cos和cos都是有理数.证明:存在正整数n,使得cos和cos都是有理数.5.设，且sin，co
2、s均为有理.求证:存在满足:();() sin1, sin2, cos1,cos2均为有理.6.设M为整数集Z的一个含0的有限子集,又设f,g:MM为两个单调减函数,且满足g(f(0)0.求证:在M中存在整数p使得g(f(p)=p.7.是否存在最小的实常数c，使得c(x+y+z)4x3y+y3z+z3x+xy3+yz3+zx3对于所有的非负实数x,y,z恒成立?，若存在求c的最小值,若不存在,请明理由.8.设ak0，k=1,2,2008.证明：当且仅当时,存在数列xn满足以下条件:()0=x0xn 1,x1).15.定义rad(1)=1, rad(n)等于n的所有不同质因数的积,数列an满足:
3、a1=1,an+1=an+rad(an)(n=1,2,).证明:对任意大于2的整数m,数列an中都有连续m项组成等差数列.16.设正实数a,b满足b-a2.求证:对区间中任意两个不同的整数m,n,总存在一个由区间中某些整数组成的(非空)集合S,使得是一个有理数的平方.17.求最大的常数，使得对任意正整数，存在正实数数列，及满足（1），；（2）二.关于数论中的存在性问题1.证明存在无穷多个整数n,使得2n+1与3n+1为完全平方数,并且20|n.2.设k,l是给定的两个正整数.求证:有无穷多个正整数mk,使得与l互素.3.证明:对任意正整数n2,总存在n个互不相同的正整数a1,a2,an,使得对
4、任意1ijn有(ai-aj)2|aiaj.4.正整数m,n,k满足：k2+k+3=mn.证明不定方程x2+11y2=4m 和 x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).5.求证:存在唯一的正整数数列使得,6.证明:对于任意正整数k，总存在满足下列条件的正整数n：()n整除2n+1，()n恰有k个不同的素数因子。7.求所有适合下列条件的正整数的个数:存在非负整数x0,x1,x2,x2009使得.8.已知数列an满足a1=1,a2=1,a3=3,an=an-1+2an-2+an-3,n=4,5,.求证:对任何正整数m,总存在无穷多个正整数n使得m|an.9.证明:对任意给定素数p,总存在
5、无穷多个正整数n,使得p|2n+3n-n.10.证明:存在无穷多个整系数多项式f(x),使得它在R上不是单射,而在Q上是单射.11.对任意n个两两互素的正整数:m1,m2,mn.证明:总可以找到n个连续的自然数k+1,k+2,k+n使得mi|k+i(i=1,2,n).12.证明:存在n元自然数集合A(n2)使得:(1)A中任意两个数互质; (2) A中任意k(2)个数的和都是合数.13.设x,y是整数,(x,y)=1,则称整点(x,y)为既约整点.求证:对任意正整数n,存在整点A(a,b)使得在以A为圆心n为半径的圆内,不存在既约整点.14.证明,对于每一个素数p,总存在无穷多个正整数n使得p
6、|2n-n.15.已知p为素数.证明,存在一个素数q,使得对任意正整数n,qnp-p.16. 设是一个合数.证明:存在正整数，满足，且.这里表示正整数的正约数的个数.ABCDEFPQMN17. 将每个正整数任意染红、蓝两色之一，证明：总存在一个无穷的正整数序列，使得无穷序列是一个同色正整数序列三.2010年CMO试题选讲题1.如图,两圆1,2相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆1,2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆1,2于点E,F,直线CF分别交圆1,2于点P,Q,设M,N分别是弧PB与弧QB的中点.求证:若CD=EF,则C,F,M,N四点共圆. 题2.设整数k3,数列满足且对所有nk,有证明:数列中有无穷多项是素数.题3.设复数a,b,c满足:对任意|z|1的复数z,都有|az2+bz+c|1,求|bc|的最大值.题4.设m,n是给定的大于1的整数,a1a2am都是正整数.证明:存在整数集的一个子集T,其元素个数|T|,且对每个i1,2,m,都有tT及s-n,n,使得ai=t+s.题6.设a1,a2,a3,b1,b2,b3为互不相同的正整数,满足(n+1)a1n+na2n+(n-1)a3n|(n+1)b1n+nb2n+(n-1)b3n对任何正整数n成立.求证:存在正整数k,使得bi=kai,其中i=1,2,3.1
