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1、第2导数的概念及性质(两课时)基础过关1. 函数的单调性 函数y= f(x)在某个区间内可导，若广(x) 0，则f (x)为；若广(x) V0,则f (x)为 .(逆命题不成立) 如果在某个区间内恒有f(x) = 0，则f (x).注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数f(x)的； 求广(x)，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然 后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 确定广(x)在各小开区间内的.，
2、根据广(x)的符号判定函数f (x)在各个相应小开区间内的增减性.2. 可导函数的极值极值的概念设函数f (x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 (或)，则称f (x0)为函数的一个极大(小)值.称为极大(小)值点.求可导函数极值的步骤： 求导数广(x)； 求方程f (x) =0的； 检验广(x)在方程广(x) =0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y= f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y= f(x)在这个根处取得.3. 函数的最大值与最小值：设y= f (x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f (x)在(a ,b
3、 )内有导数，则函数y= f (x)在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值.(2) 求最值可分两步进行： 求y= f(x)在(a ,b )内的值； 将y= f (x)的各值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(3) 若函数y= f (x)在a ,b 上单调递增，则f (a)为函数的.，f(b)为函数的；若函数y=f (x)在a ,b 上单调递减，则f (a)为函数的， f (b)为函数的.典型例题例 1.已知 f(x)二ex-ax-1.(1) 求f(x)的单调增区间；(2) 若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3) 是否
4、存在a,使f(x)在(-8, 0上单调递减，在】0,+e)上单调递增？若存在，求出a的值；若 不存在，说明理由.解：f (x) =ex-a.(1) 若aWO,广(x) =ex-a三0恒成立，即f(x)在R上递增.若 a0,ex-a三O,.ex三a,x2lna.f(x)的单调递增区间为(lna,+8).(2) Vf(x)在R内单调递增，.广三0在R上恒成立.ex-a三0,即aWex在R上恒成立.aW(ex)，又 *.*ex0,Aa0.min(3) 方法一由题意知ex-aW0在(-p 0上恒成立.a三ex在(-8, 0上恒成立.Tex在0上为增函数.*.x=0时，ex最大为l.a21.同理可知ex
5、-a三0在0,+8)上恒成立.aWex在0,+8)上恒成立.aWl,.a=l. 方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点广(0)=0,即e0-a=0,.a=l.变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-l.(1) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f(x)在(-1, 1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由;(3) 证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.(1) 解 由已知广(x) =3x2-a,Tf(x)在(-伞+)上是单调增函数，f(x)=3x2-a三0在(-8,+8)上恒成立，即aW3x2对xUR
6、恒成立.T3x2三0,.只需 aW0,又 a=0 时，广(x) =3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则aW0.(2) 解 由f(x) =3x2-aW0在(-1,1)上恒成立，得a三3x2,xU(-1,1 )恒成立. .Tx1,.3x23,.只需 a三3.当 a=3 时，f(x)=3(x2-1),在xU(-1,1)上，广)0,即f(x )在(-1, 1)上为减函数，.a23. 故存在实数a23,使f(x)在(-1, 1)上单调递减.(3) 证明 Tf(-1)=a-2=0,=1.导数y的正负以及f(-2),f(2)如下表：123x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2
7、)2y-0+0-0+y 13、4/5、4/13从上表知，当x=2时，函数有最大值13,当x=l时，函数有最小值4.例3.已知函数f(x)=x2e-ax (a0)，求函数在1, 2上的最大值.解f(x) =x2e-ax (a0),；广(x) =2xe-ax+x2 (-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).令 f(x) 0,即 e-ax (-ax2+2x)0,得 0x.af(x)在(-8,0), f2,+H上是减函数，在fo,2j上是增函数.Va 丿V a丿 当02 2时,f(x)在(1, 2)上是减函数,.fa 当 1W 2 W2,即 1 WaW2 时，f(x)在a(x) =f (1) =e
8、-a.max上是增函数,在f 2,2上是减函数, Va丿max.*.f (x) =f (2) =4e-2a.max.*.f(x) =f f - =4a-2e-2. 当2 2时，即0al时，f(x)在(1, 2) 上是增函数, a综上所述，当0al时，f(x)的最大值为4e-2a,当1WaW2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a2时，f(x)的最大值为e-a.变式训练3.设函数f(x)=-x(x-a) 2 (xU R)，其中au R.(1) 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；(2) 当aM0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：(1)当 a=1 时，f(x)
9、=-x(x-l)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2, f(x)=-3x2+4xT,广=T2+8T=-5, .当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.(2) f(x)=x(x_a)2=x3+2ax2a2x,f( x) =-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令 f( x) =0,解得 x=；或 x=a. 由于aM0,以下分两种情况讨论.若a0,当x变化时，广(x)的正负如下表：x(8, a )a(旦,a)a(a,+8)333f( x) 0+0f(x)、a3027因此，函数f(x)在x= a处取得极小值f (色)，且 f (a)=a3;3332
10、7函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.若a0,当x变化时，广(x)的正负如卜表：x(a)a(a, a)a( a ,+8)333f( x)0+0 f(x)0a3因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x= a处取得极大值f ( a )，且f ( a ) =- 4 a3.33327例4.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3WaW5) 的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9WxWll)时，一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一 年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2
11、)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q (a). 解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x的函数关系式为：L=(x3a)(12x)2,xU9,11.(2) l (x) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) = (12-x)(18+2a-3x).令L =0得x=6+ - a或x=12 (不合题意，舍去)3.3WaW5,.8W6+ - aW 28 .在 x=6+ - a 两侧 L的值由正变负.333所以当 8W6+ 2aV9 即 3WaV 9 时，L =L(9) = (9-3-a)(12-9)2=9(6-a).32max当9W6+ 2aW空，33m
12、ax即WaW5 时，L =L(6+ a) = (6+ a3a) 12-(6+ a) 2=4(31 a)3. 2所以Q(a)=9(6 - a),(1 )34 3 一 a .I 3丿93 a ,29 a 5.2答若和 ，则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大，最大值Q (a) =9(6-a)(万元)；若9 WaW5，则当每件售价为(6+ 2 a)元时,23变式训练4：某造船公司年造船量是20艘,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a) = 4(万元).已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3 (单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5 000 (单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)f(x).(1) 求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润=产值-成本)(2) 问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)
