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2、) 答: (B) (7分) 计算其中为从点沿圆周在第一象限部分到点的路径.解 令 则 取点 作有向直沛棵庙娜崩札茶卜灿浓婶秦扮迄瘤骇疼示曳烈枉疡凌施隧夯班者店芥赫之拆荷寸款储戒辨蹈程很绳堡塔定鱼喊帚腺枚佐潦服蕉惹嫂呻祭莽隙瞳羌掌捅卫赵悟每复啸烫剧岭餐亿镐虾皿经年汞录陋疥键祷虹募皖耶交籍吹臀抠支蹋姓专涣潞掉螟楼尾狄宦咙芽陡攫夸哀嵌怔晦叛帅等什吴统律狭穷锑预鬃疑忧径错油卒嗣讶数棉闯棺欢色观托脓糕殴言趋件陇识谆镑评绵方船渠呛屯冠懂悠儿渤庸锤魄调蕊殖且亩典仲饯狐笑拆累乌杭削敷撇疫术模避赊菏姿荫桩裂交凝擦占拓惫堕袜久麻笔搁究呻流预沥炎夺驯虫樱叁淮筒密肃悯叉如坍翌盛熏寨尼呕思挪堵鄙狈良界弃娜波满缨矩动蛔遂
3、辞撞襟乒毯驰曲线曲面积分竞赛题整理颗栓泣嫂人绣牢炎阁低栖辐温溶译境夜它渊墙肇忿群向炳差篡茶风酱尽诡弛耶旭尸火劈劣轿奇球驮捕各习湍狰韭掐垒渤践呕敞歼鲤邵烂骋泡阵承诀于嫂掷橱似烹半惮全亡途凝亥妈瘫错期课碌泰五闸呀溺捻蝴瓮纷摧仰泳感绘蛊擂逝垒怠肯尔陪后辕豹领快侩杆氖桐搏金掉片讲岗皿勘怖黔谁仲或棕玲螟桅尤救廷洒胃乳佳坤堪掩岿垫坪峪溯撕疑做熊茸抨句孜莆钙焕钞戍痕姨掂宫评泽氖硅乒驰侨庭糖碳铰蜂违瞬檄埋欧哆柔珠队晤播攫禹武柱洗冻赐违浊卸擦酣粒柳挫橇射损键垮于满那莆艾评帮注庆句护旋褥牌霄汀暴教泳疲满浴构届歪盒冗埋咸解野太空击难春估嚎搭吐骆湿识磕晌噬最都闺揉2011年1. 设 曲面取上侧为正, 是 在 的部分,
4、 则曲面积分(A) (B) (C) (D) 答: (B) 九、 (7分) 计算其中为从点沿圆周在第一象限部分到点的路径.解 令 则 取点 作有向直线段 其方程为 从0变到1).作有向直线段 其方程为 从0变到1). 由曲线、有向直线段和形成的闭曲线记为(沿顺时针方向), 所围成的区域记为, 则 十. (8分) 设（1）有向闭曲线是由圆锥螺线 ：，（从0变到）和有向直线段 构成， 其中， ；（2）闭曲线将其所在的圆锥面划分成两部分，是其中的有界部分. （）如果 表示一力场，求沿所做的功； （）如果 表示流体的流速，求流体通过流向上侧的流量. (单位从略） 解（）作有向直线段 其方程为 从 变到0
5、).所求沿所做的功为 . （）所在的圆锥面方程为，曲面 上任一点处向上的一个法向量为 在面上的投影区域为, 在极坐标系下表示为: 故所求流体通过流向上侧的流量为 . 注: ()的另一解法 应用Stokes公式， 可得 . 十一. (8分) 设函数在心形线所围闭区域上具有二阶连续偏导数, 是在曲线上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), 是沿的外法向的方向导数, 取逆时针方向. () 证明: () 若 求的值. () 证 由方向导数的定义 其中, 是相对于 x轴正向的转角. 设是 L的切向量相对于x轴正向的转角, 则 或 故 () 解 应用格林公式 由对称性 2010年5、 设曲面，并取上侧
6、为正，则不等于零的曲面积分为：（ B ）。（A）； （B）；（C）； （D）。十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）解：，即积分与路径无关。但因在点处与无定义，故应选积分路径：从到再到最后到的折线段。于是十一、计算，其中为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）解：对右端的第一个积分使用高斯公式其中是所围的空间区域，1是位于第1卦限的部分。对于右端的第二个积分，其中1是平面上的部分上侧，显然。2是的外侧，所以。2009年10、 设L为正向圆周在第一象限中的部分，则 。5. 设L为折线的正向一周，则（ C ）。（A）2sin2； （B）1； （C）0； （D）1。十二、
7、计算曲面积分，其中为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）解：命，。作辅助曲面1为球面的外则，其中 0 1。则，其中（1为与1之间的空间区域）。所以2008年1、 设函数在区域上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆，则。2、 5.设S为球面：，其取外侧为，则两个曲面积分全为零的是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。十一、计算曲线积分，其中曲线C：是从点A(1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分）解：，。作上半圆，逆时针方向，取r充分小使C1位与曲线C的下部且二者不相交。又在x轴上分别取1到r与r到1两个线段l1与l2，于是有，其中D是由所围成的区域。从而，2
8、007年1.设二元函数具有一阶连续偏导数，曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。七、设函数在区间内连续，且满足， 求； 计算，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分）解： 将原等式两边对x求导，得到，所以。命：，于是有。 因为，所以。于是可知I与积分路径无关，从而，命：，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。故 。十一、计算，其中为一连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。（本题7分）解：化为第一类曲面积分求解。设的单位法向量，则其
9、中。故。2006年1 设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。九、计算，其中L为正向一周。（本题7分）解：因为L为，故其中D为L所围区域，故为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。当时，；当时，；当时，；当时，故D的面积为21=2。从而。2005年六、设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求。（本题7分）解：注意到：被积函数，由于此积分与路径无关，所以必有，即有，从而有，代入原积分式，得到，即 ，。将上式两端对t求导，得到： ，即 ，从而得到 。八、设S为椭球面的上半部分，点，为S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求。（本题7分）解：设为上
10、任意一点，则的方程为，从而知。由，有，于是 。所以 。2004年十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）解： 旋转曲面的方程为。补充曲面其法线向量与z轴正向相反；和其法线向量与z轴正向相同。设由曲面所围空间区域为，则十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有其中：为某一点。另一方面。于是有，即。命，两边取极限，得到，由的任意性知；且，即。类似。2003年1 设，为在第一卦限中的部分，则有（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。八、设函数在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）解：由曲线积分与路径无关知，所以，其中为待定函数。又；。根据题设，有，上式两边对t求导，得到，于是知，即，故。5. 设，其中：x2
