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1、第六章(定积分及其应用)之内容方法 不定积分是微分的逆运算，其实质还是微分，而定积分是无限求和，是真正意义上的积分。它是积分学中的又一非常基本的概念。连接不定积分与定积分或微分与积分间的桥梁是微积分学基本定理。定积分的的定义：（1） （1） 分割（2） （2） 作和：（3） （3） 取极限：。定积分的几何意义：当时，是由曲线，所围的曲边梯形的面积。定积分存在定理：若在上连续或只有有限个第一类间断点，则一定存在。定积分的基本性质：（1）对区间的可加性：=；（2）线性性质：；（3）不等式：；（4）估值不等式：，其中,分别是在上的最小值和最大值；(5)中值定理：若在上连续，则必有一点使得，称为积分均
2、值。变上限积分：若在上连续，则当时，。由此可见，是的一个原函数。这样，它把不定积分和定积分联系起来，有时把它称作微积分学基本定理。牛顿莱布尼兹公式：设连续，是的一个原函数，则。上述公式也称为微积分基本公式，它把定积分的计算问题转化为求原函数的增量，从而为定积分的计算提供了有力的工具。定积分的计算：(1)用定积分的定义；（2）用牛顿莱布尼兹公式；（3）凑微分法(不必改变上下限)；（4）换元法：令，（换元换限不换回）；（5）分部积分法：。无界函数的广义积分的概念：（1）当时，定义；（2）当时，定义；（3）当时，定义 当各式中的极限存在时，称广义积分收敛，否则称为发散。无穷区间的广义积分的概念：(1
3、)；（2）；（3）。当各式中的极限存在时，称广义积分收敛，否则称为发散。定积分的应用：（1） （1） 求平面图形的面积（曲边梯形）及（极坐标下角形域）；（2） （2） 已知平行截面面积的立体体积：；（3） （3） 绕轴转所得旋转体体积：。（4） （4） 曲线的弧长;曲线的弧长为；曲线的弧长为；（5） （5） 物质曲线：的质量为；（6） （6） 在的平均值：；在均方根值：（7） （7） 变力沿直线做功：。（8） （8） 变速直线运动的路程：。第六章(定积分的应用)之例题解析 例6.1 (关于变上积分)：设f (x)在(a x b)内连续，且。证明函数在(0, +)内单调增。证明： 故在为单调增。
4、例6.2 求解：这是一个型未定式。可看成以u = cos x 为中间变量的复合函数。从而。由洛必塔法则有，=。例6.3 计算下列积分1； 2. ;3. .解：1. 原式=。 2. 此题用第二换元法(换元换限不换回)。令，则1+ln x = t 2 , . 故 原式=)。 3. 解：原式因为是奇函数，所以。又因为是偶函数，。所以 原式 例6.4 若f (x) 在 0 , 1 上连续，证明 证明：设则dx = dt, 且当x = 0 时，；时，t = 0. 于是 注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。例6.5 证明广义积分当a 1时收敛，当a 1时发散。证明：x = 0 是函数的无穷间断点
5、。(1) (1) 当a 1时，也发散。例6.6 计算抛物线y 2 = 2x 与直线y = x 4 所围成的图形的面积。解：联立两曲线的方程可求得交点为 ( 2, -2 ) 和 (8, 4 ) .根据区域的形状，选取y为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差，即例6.7 一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水。问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴使其正向朝下，取深度x为积分变量，它的变化区间为 0, 5 ,相应于 0, 5 上任一小区间 x , x + dx 的一薄层水的高度为dx .水的比重为9800牛/米 3 ，这薄层水的重力为9800 3 2 dx,这薄层水吸出桶外需作之功为dw = ( 9800 3 2 dx ) x . 故所求功为焦。
