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1、正弦定理和余弦定理ABC引入思考1：如图固定的边CB及，使边AC绕着顶点C转动，的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的关系？能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 思考2：在RtABC中(若C=90)有： 那么在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 解读1、直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa（1）三边之间的关系：a2b2c2(勾股定理)（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sinAcosB，cosAsinB，tanA2、斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A
2、、B、C的对边 （1）三角形内角和：ABC（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等(R为外接圆半径)（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍3、三角形的面积公式：（1）Sahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高)；（2） SabsinCbcsinAacsinB；（3） S；（4）S2R2sinAsinBsinC(R为外接圆半径)（5）S；（6） S；(海伦公式)4、正余弦定理的边角互换功能 ，= 设是的角A、B、C的对边（假设C为最大的角）若，则，为直角三角形若，则，为锐角三角形若，则，为钝角三角形若，
3、则或5、三角形中的基本关系式：，探究已知在ABC中,c=,A=450，a=2,求C； 请同学们思考两个问题：角C有几个解？答：两个当a=1时C有几个解；当a=时C有几个解；当a=3时C有几个解答： 当a=1时无解；当a=时有一个解；当a=3时有一个典例精讲一选择题（共14小题）1（2018北京模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=10，A=45，B=30，那么b等于（）A522B52C102D2022（2018春山西期末）已知ABC中，AB=2，AC=4，A=30，则ABC的面积为（）A1B2C3D43（2018春萍乡期末）在ABC中，已知AC=2，BC=3，cosC
4、=34则AB=（）A1B2C4D224（2018春海淀区期中）在ABC中，已知a=3，b=4，sinB=23，则sinA=（）A34B16C12D15（2018石景山区一模）在ABC中，A=60，AC=4，BC=23，则ABC的面积为（）A43B4C23D36（2018惠州模拟）如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺A5.45B4.55C4.2D5.87（2018新乡二模）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知
5、absinC=20sinB，a2+c2=41，且8cosB=1，则b=（）A6B42C35D78（2017秋天心区校级期末）若一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为（）A7.2cm2B6cm2C12cm2D24cm29（2018顺德区一模）ABC中，tanA=3，AC=23，BC=4，则AB=（）A237B73C7+3D23+710（2018春西城区校级期中）ABC中，给出以下条件，有唯一解的是（）Aa=4，b=5，A=30Ba=5，b=4，A=60Ca=3，b=2，B=120Da=3，b=6，A=6011（2018春沙坪坝区校级期中）甲船在B岛的
6、正南方向A处，AB=10千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（）A2小时B157小时C514小时D57小时12（2018秋武平县校级月考）在ABC中，A=60，c=4，23a4，则这样的三角形的解有（）A两解B一解C无解D无穷多解13（2018秋醴陵市期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）Aa=8，b=16，A=30，有两解Bb=18，c=20，B=60，有一解Ca=5，c=2，A=90，无解Da=30，b=25，A=150，有一解14
7、（2018青岛二模）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A502mB503mC252mD2522m二填空题（共5小题）15（2018秋会宁县校级月考）在ABC中，化简bcosC+ccosB=16（2018春启东市校级期中）在ABC中，若b23bc=a2c2，则A=17（2017春启东市校级期中）在ABC中，BC=1，B=23，ABC面积S=3，则边AC长为18（2018春昆山市期中）一个三角形的两个内角分别是30和60，若30角所对的边长为2，则60角所对的边长为1
8、9（2016春启东市校级月考）若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且AC=BC，则点A在点B的三解答题（共4小题）20（2018正定县校级模拟）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（3sinBcosC）=（b+c）cosA（）求角A；（）若c=2b，a=15，设a，b，c三条边上的高分别为ha，hb，hc，求ha，hb，hc21（2017春西城区校级期末）设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=45，b=2（）当a=53时，求角A的度数；（）求ABC面积的最大值22（1951全国）当太阳的仰角是60时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？2
9、3（2018秋上杭县校级月考）在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB=30，BDC=30，DCA=60，ACB=45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离归纳总结1、三角形中的边角关系:（1）边的关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边2）在直角三角形中：a2+b2=c2（2）角的关系：1）A+B+C=18002） （3）边角关系：1）大边对大角，大角对大边，等边对等角2）在直角三角形ABC中,C=900,则3）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即= 注意：定理适合任意三角形。2、正弦定理在解斜三角形中的两类应用: （1）已知两角和任一边,求一角和其他两条边（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)已知两边一对角解的分布表（如已知a,b,角A）3、余弦定理可以解决的问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
