《人教版高中数学必修5【新课教学过程1】第1章第2节应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修5【新课教学过程1】第1章第2节应用举例（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、（人教版）精品数学教学资料1.2应用举例(第一课时 解决有关测量距离的问题)推进新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.例题剖析【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，BAC=51，ACB=75求A、B两点的距离.(精确到0.1 m)师（启发提问）1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答生 从题中可以知道角A和角C，所以
2、角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该用正弦定理生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边解：根据正弦定理，得，65.7(m).答:A、B两点间的距离为65.7米. 知识拓展变题：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于A km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？来源:老师指导学生画图，建立数学模型解略：km.【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离
3、的方法 教师精讲这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出A、B的距离解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=A，并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD =,CDB=,BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得，.计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离. 活动与探究还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析 知识拓展若在河岸边选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，
4、ACD=30，CDB=45，BDA=60,略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206. 教师精讲师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面,我们再看几个例题来说明解斜三
5、角形在实际中的一些应用.【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）.（精确到1 mm） 师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B0重合时，A与A0重合，故A0C=ABCB425 mm，且A0A=A0C-AC师 通过观察你能建立一个数学模型吗？生 问题可归结为：已知ABC中， BC85 mm，AB34 mm，C80，求AC师 如
6、何求AC呢？生 由已知AB、C、BC，可先由正弦定理求出A，再由三角形内角和为180求出B，最后由正弦定理求出AC解：（如图）在ABC中，由正弦定理可得0.246 2.因为BCAB，所以A为锐角.A=1415， B180-（AC）8545.又由正弦定理，344.3(mm).A0A =A0C AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.781(mm).答：活塞移动的距离为81 mm师 请同学们设AC=x，用余弦定理解之，课后完成. 知识拓展变题：我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方
7、向航行才能用2小时追上敌舰？ 师 你能根据方位角画出图吗？生（引导启发学生作图）师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.解：如图，在ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ABACcosBAC=202+122-21220(-)=784,BC =28,我舰的追击速度为14海里/时.又在ABC中,由正弦定理得.答：我舰航行的方向为北偏东50-arcsin. 方法引导师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？生分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三
8、角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解生 即解斜三角形的基本思路：师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行
9、驶公路的走向是M站的北偏东40开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得,则,所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC -cos120sinC =.在MAC中，由正弦定理得，从而有MB= MC-BC=15.答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站课堂小结通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.布置
10、作业课本第14页练习 1、2.板书设计解决有关测量距离的问题1.提出问题 2.分析问题演示反馈3.解决问题总结提炼要得到不可直接到达的各种距离，常构想通过求三角形的边长来解决，变“不可测”为“可以算”.课前先使学生明确解三角形的必备条件，再介绍手中的测量工具，使学生有理可依、有据可循。最后将学生带到教室外去感受熟悉而生动的社会实践.沿着旅游路线，将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考，尊重学生的自主权与主动性.让学生在轻松愉快的氛围中享受学习，让学生的大脑随学而动，让他们的思维随想象而驰骋.1.2应用举例 (第二课时 解决有关测量高度的问
11、题)推进新课【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 合作探究师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物AB的高，我只要能把AE的长求出来，然后再加上测角仪的高度EB的长就行了.师 对了，求AB长的关键是先求AE，那谁能说出如何求AE？生 由解直角三角形的知识，在ADC中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长师 那现在的问题就转化成如何去求CA的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的知识测出CA
12、的长生 为了求CA的长，应该把CA放到DCA中，由于基线DC可以测量，且也可以测量，这样在DCA中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA的长解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得,AB=AE+h=acsin+h=+h.师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？生 要测量某一高度AB，只要在地面某一条直线上取两点D、C，量出CD=A的长并在C、D两点测出AB的仰角、，则高度，其中h为测角器的高【例2】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A
13、的俯角=5440，在塔底C处测得A处的俯角=501已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 合作探究师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？生 需求出BD边师 那如何求BD边呢？生 可首先求出AB边，再根据BAD=求得来源:解：在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC =-,BAD =.根据正弦定理,=，所以.在RtABD中,得BD =ABsinBAD=.将测量数据代入上式,得177(m),CD =BD -BC177-27.3=150(m).答:山的高度约为150米.师 有没有别的解法呢
14、？生 要在ACD中求CD，可先求出AC师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？生 同理，在ABC中，根据正弦定理求得（解题过程略）【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD. 合作探究师 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生 在BCD中.师 在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生BC边.解：在ABC中, A=15,C=25-15=10,根据正弦定理, 7.452 4(km),CD=BCtanDBC=BCtan81 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角和
