《适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数培优拓展十四极值点偏移问题课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数培优拓展十四极值点偏移问题课件（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、培优拓展(十四)极值点偏移问题极值点偏移问题可以很好地考查逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养,涉及函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想等,对思维要求较高,计算量较大,属于难题.1.已知函数y=f(x)是连续函数,在区间(x1,x2)上有且只有一个极值点x0(即y=f(x)为单峰函数)且f(x1)=f(x2),若极值点左、右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点 的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”(如图2).极值点左偏 极值点右偏 2.极值点偏移问题一般有以下四种基本题设形式:(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2,求证:x1+x22x0(x0为函
2、数f(x)的极值点).(2)对于函数f(x),存在x1,x2且x1x2,满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x22x0(x0为函数f(x)的极值点).3.解决极值点偏移问题,常用的有构造对称函数法和比(差)值换元法等.类型类型一一 构造构造对称和对称和(差差)函数函数例1(2023陕西绥德中学模拟)已知f(x)=x3-ax2(aR),其极小值为-4.(1)求a的值;(2)若关于x的方程f(x)=t在(0,3)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:3x1+x20,f(x)单调递增,在区间(0,2)上,f(x)0,f(x)单调递增,所以不妨设0 x12x23.下面先证x1+x24.即证x14
3、-x2,因为0 x12x23,所以14-x22,又因为在区间(0,2)上,f(x)单调递减,所以要证x1f(4-x2),又因为f(x1)=f(x2),所以只需证f(x2)f(4-x2),即证f(x2)-f(4-x2)0.设g(x)=f(x)-f(4-x)(2x0,所以g(x)在区间(2,3)上单调递增,所以g(x)g(2)=0,所以f(x2)-f(4-x2)0.下面证3h(x);在区间(2,3)上,f(x)h(x1),所以h(x3)h(x1),所以x3x1.设x4(2,3),f(x2)=h(x4)=t,因为f(x2)h(x4),所以x4x2.因为h(x3)=h(x4)=t,所以x3+x4=3,
4、所以3=x3+x4x1+x2.综上,3x1+x20,g(t)单调递增,不可能有两个零点;当a0时,令g(t)0,得ta,g(t)在区间(a,+)上单调递增,令g(t)0,得0t0,得0a0恒成立,没有零点;若g(a)=0,得a=e,此时g(t)有一个零点;若g(a)e,因为g(1)=10,g(e)=e-a0,所以g(t)=t-aln t在(1,e),(e,ea)上各存在一个零点,符合题意.综上,a的取值范围为(e,+).增分技巧比(差)值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.设法用比值或差值(一般用m表示)表示两个极值点,继而将所求解问题转化为关于m的函数问题.
