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1、第六章 简单超静定问题 习题解习题6-1 试作图示等直杆的轴力图解：把B支座去掉，代之以约束反力（）。设2F作用点为C，F作用点为D，则：变形谐调条件为：（实际方向与假设方向相反，即：）故： 轴力图如图所示。习题6-2 图示支架承受荷载，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为，。试求各杆的轴力。 解：以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 (1)(2)变形谐调条件：设A节点的水平位移为，竖向位移为，则由变形协调图（b）可知：设，则(3)(1)、(2)、(3)联立解得：；（方向如图所示，为压力，故应写作：）。习题6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如
2、果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受多少力。解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用表示。由其平衡条件可列三个方程：(1)(2) (3)由变形协调条件建立补充方程 。（4）(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：习题6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。解：以AB杆为研究对象，则：(1)变形协调条件：(2) (1)、(2)联立，解得：习题6-5 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆BD和CE的横截面
3、面积和，钢杆的许用应力，试校核该钢杆的强度。 解：以AB杆为研究对象，则：(1)变形协调条件： (2)(1)、（2）联立，解得： （压）；（拉）故可记作：；强度校核： ，符合强度条件。 ，符合强度条件。习题6-6 试求图示结构的许可荷载F。已知杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许用应力为，梁AB可视为刚体。解：以AB杆为研究对象，则： (1)(2)变形协调条件： .(3)(1)(2)(3)联立，解得： ；强度条件： 故：习题6-7 横截面积为的短木柱，用四根的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载F。解：（
4、1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2）由物理关系： （3）式（3）代入式（2），得（4）解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为： 习题6-8 水平刚性横梁AB上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，杆1和长度短了。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且，。试求装配后两杆的应力。解：以AB梁为研究对象，则：(1)变形协调条件： .(2) (1)、(2)联立，解得： ； 习题6-9 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。已知上、下两段杆的横截面面积分别为和，材料的弹性
5、模量。试作图示荷载作用下杆的轴力图。解：设装配后，支座B的反力为（），则： （D为60kN集中力的作用点）变形协调条件：。故： ； ； 。轴力图如下图所示。习题6-10 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆的弹性模量为，线膨胀系数。试求当温度升高后，该杆各部分产生的应力。解：变形协调条件： 习题6-11 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。若，试求固定端的支反力偶矩和，并作扭矩图。解：把B支座去掉，代之以约束反力偶 ，其矩为，转向为逆时针方向，则：变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：式中，故： （
6、顺时针方向转动）AB轴的轴力图如下：习题6-12 图示一两端固定的钢圆轴，其直径。轴在截面C处承受一外力偶矩。已知钢的切变模量。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。解：把B支座去掉，代之以约束反力力偶，其矩为，逆时针方向转动。，则：变形协调条件：A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：，故： C截面左侧的最大切应力： 式中，抗扭截面模量 C截面右侧的最大切应力： C截面的转角： 式中，习题6-13 一空心圆管套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销
7、钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知杆A和杆B的极惯性矩分别和；两杆的材料相同，其切变模量为G。解：解除端约束（逆时针方向转动），则由于B杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II之后，端相对于截面C转了角。因为事先将杆B的C端扭了一个角，故变形协调条件为 习题6-14 图示圆截面杆AC的直径，A端固定，在截面B处承受外力偶矩，截面C的上、下两点处与直径均为的圆杆EF、GH铰接。已知各杆材料相同，弹性常数间的关系为。试求杆AC中的最大切应力。解：把EF杆与GH杆切断，代之以约束反力。由轴AC的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为（顺时针方向转
8、动）。 杆EF、GH的作用是阻止C截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故C截面仍有转角。 变形协调条件为：式中，故：。 故：杆AC的最大切应力出现在AB段的圆轴表面：习题6-15 试求图示各超静定梁的支反力。6-15（a）解：把B支座去掉，代之以约束反力，则变形协调方程为：查附录IV，得： 故， （）由得： （） 由得：（逆时针方向转动）6-15(b)解：把B支座去掉，代之以约束反力，则变形协调方程为：查附录IV，得：故， （负号表示方向向下，即） 由得： （） 由得：，（逆时针方向转动） 6-15(c)解：把B支座去掉，代之以约束反力和，方向如图所示。则变形协调条件为： ；查附录IV，得
9、： 故， (1) 查附录IV，得： 故， (2)(1)、（2）联立，解得：（）；（顺时针方向转动）。根据对称结构在对物荷载作用下的性质可知， （）；（逆时针方向转动）习题6-16 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为：和。解：把连接梁AB与梁CD的垫块去掉，代之以约束反力（）和（）。显然，它们是一对作用力反作用力。查附录IV得：AB在B处的挠度：CD在C处的挠度为： 变形协调方程： （）。即，梁CD在C处所受的力。梁AB在B处所受的合力为：（）。习题6-17 梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，如图所示。试求： （1）
10、二梁接触处的压力；（2）加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数。解：（1）求二梁接触处的压力以AB为研对象，把C处的圆柱垫去掉，代之以约束反力（）；以AC为研究对象，作用在C处的力为（）。与是一对作用与反作用力，。AB梁在C处的挠度： 。查附录IV得： 故，AC梁在C处的挠度： 变形协调方程： （）（2）求加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数 弯矩的变化情况 加固前： 加固后： 显然，AB梁的最大弯矩减小： （负弯矩只表示AB梁上侧受拉） B点挠度的变化情况加固前：加固后： 故， B点挠度减小的百分数为： 习题6-18 图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。解：（1）求多余未知力把刚性杆EF去掉，代之以约束反力（）和（）。它们是一对作用与反作用力。AB梁在E处的挠度为：CD梁在F处的挠度为：变形形协调方程：由对称性可知，（）（2）作CD梁的弯矩图CF段的弯矩方程： 令 得：当时，弯矩取最大值。 FD段的弯矩方程： 由对称性可知： CD梁的弯矩图如下图所示。（3）作CD梁的剪力图 习题6-19 在一直线上打入个半径为的圆桩，桩间距均为。将
