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1、高中数学高考总复习 专题十八 含有参数的不等式问题众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。一、立足于“直面求解”解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后
2、，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。例1.设关于x的不等式 （1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+），求m的取值范围；（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m20,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为axb型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。解：（1）由题设，原不等式 m（x+2）m2+(x-3) (m R，m0) (m-1)xm2-2m-3 (1)当m1时，由（1）解得 当m=1时，由（1）得x R;当m1时，原不等式的解集为 当m=1时，原不等式的解集为R当mm2-2m-3 m2-5m0 0m0以及 ， m的取值或
3、取值范围由此而产生。例2已知关于x的不等式组 的整数解的集合为-2,求实数R的取值范围。分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。解：不等式x2-x-20 (x+1)(x-2)0 x2不等式 x2-x-20的解集A=（-，-1） （2，+ ），显然-2A不等式2x2+(2R+5)x+5R0 (x+R)(2x+5)0 设这一不等式的解集为B，则由-2 B，得：（-2+R）（-4+5）0 R2 注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1= -R， ，(1
4、)当 时, 由得 , 即 此时-2 B(2)当 时,由得 x|x AB,x Z=-2 于是由、得所求实数的取值范围为-3，2）点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集为B，而后首先由-2 B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。二、致力于“化生为熟”化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的
5、题”。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。例1.若不等式 的解集为（-，1）（2，+），求a的取值范围。分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。解：不等式 （a-1）x+1(x-1)0 解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a0且1-a1以下以 式左边多项式的根 与1的大小为主线展开讨论：（1）当01-a1即0a1时， 由得x1，即a1
6、这与题设条件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范围为 解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）原不等式 （1-a）x-1(x-1)0 又原不等式的解集为（-，1）（2，+） 注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根 所求a的取值范围为 点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形”一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集为（-，x1） (x2 ,+),则必需（1）ac0 （2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；例2.若不等式 的解集为(-3,-1) 2,+ ）,求实数a的值分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等
7、式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用.解:原不等式 (x+a)(x2+4x+3) 0(x2+4x+30) (x+1)(x+3)(x+a)0(x-1,且x-3)设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x-3且x-1)则原不等式 f(x) 0由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, f(2)=0 a=-2所求实数a=-2点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个
8、不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。例1.若对 中的一切实数a，满足不等式 b的x也满足不等式 ,求正实数a的取值范围。分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解”之间的关系转化为两个集合之间的关系，首先从化简两个不等式的解集切入解：设集合A=x| |x-a|0,于是由(5)、（6）得b的取值范围为 。点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。例2.要使满足关于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一个，求实数a的取值范围。分析：根据例
9、1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。解:设A=x|x2-4x+30，则A=（1，3）；B=x|x2-6x+80,则B=（2，4）； AB=（1，4）设C=x|2x2-9x+a0, 则由题设得 C AB，即C （1，4）又设f(x)= 2x2-9x+a则f(x)的图象是以直线 为对称轴且开口向上的抛物线由C （1，4）得x|f(x）0 (1,4) 于是可知实数a的取值范围为 点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系： C AB；第二次是注意到2x2-9x+a0为二次不等式，于是在C AB=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次
10、不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利在望。配伍练习：已知三个不等式：（1）|2x-4|5-x;（2） （3）2x2+mx-10 对任何x R恒成立 a0且=b2-4ac0;ax2+bx+c0 对任何x R恒成立 a0且=b2-4acm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）注意到对任意x R，总有x2+x+10对任意x R 恒 成立 对任意x R 恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立 对任意x R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立 注意到m N*， m=1（2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)m对一切实数x恒成立 mf(x)的最
11、小值 （1）f(x)=|x+1|+|x-2|（x+1）-（x-2）|=3 (当且仅当-1x2时等号成立)f(x)的最小值为3（当且仅当x -1，2时所得） （2）于是由（1）（2）得m3，即所求的取值范围为 。例2.若不等式 对一切x R恒成立，求实数的取值范围。分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒成立问题）。解：不等式 注意到 原不等式对一切x R恒成立 -5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)对一切x R恒成立 所求m的取值范围为（-11，9）点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术.例3.已知三个关于x的不等
