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1、第五节 三角恒等变换考纲要求1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式2会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它 们的内在联系3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）突破点一 三角函数求值基本知识1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(afl)cos(afl)=cos acos fl+sin asin flC(a+fl)cos(a+fl)=cos acos flsin asin BS(a-fl)sin(afl)=sin acos flcos asin
2、flS(a+flsin(a+fl)=sin acos fl+cos asin flT(afl)_tan atan fltan(afl)=1+tan atan fl；变形：tan atan fl=tan(afl)(1+tan atan fl)T(a+fl)tan a+tan fltan(afl)=1tan atan fl；变形：tan a+tan fl=tan(a+fl)(1tan atan fl)2.二倍角公式S2asin2a=2sin acos a；变形：1+sin2a=(sin a+cos a)2,1sin 2a=(sin acos a)2C2acos 2a=cos2asin2a=2cos
3、2a 1=12sin2a； 二心1+cos2a变形：cos2a=2，1cos 2asin2a=2_2tan atan2a=.21tan2a基本能力一、判断题（对的打“J”，错的打X”）（1）存在实数a, ，使等式sin（a+Q=sin a+sin fl成立.（）在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.（）公式tan（a+fl）=1tanata可以变形为曲么+仙fl=tan（a+fl）（1tan atanfl）,且对任意角a, fl都成立()(4)公式asin x+cos x=Ja2+2sin(x+0)中申的取值与a, b的值无关.( 答案：JXX (4)X二、填空
4、题1.已知tan a=2,则 tanfa-4解析：.仙伉=2,仙(_4)=工爲a=3 答案:32.化简 cos 18cos 42-cos 72sin 42的值为.解析：法一：原式=cos 18cos 42sin 18sin 42=cos(18+42)=cos 60=|.1法二：原式=sin 72cos 42cos 72sin 42=sin(7242)=sin 30=2答案:33Q3cos 15-4sin215cos 15=.解析：V3cos 154sin215cos 15=J3cos 152sin 152sin 15cos 15=J3cos 152sin 15sin 30=/3cos15sin
5、 15=2cos(15+30)=2cos 45=乃答案：、24.设 sin a=2cos a,则 tan 2a 的值为.解析：由题可知，tan a=cna=2,a2tan a 4 tan 2a=1 tan2a 3答案：-4全析考法考法一三角函数式的化简求值1. 三角函数式化简的一般要求： (1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可 能低、尽可能求出值.2. 常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次,降幂或升幂,“1”的代换,弦切互化等.例 1(1)=(sin 47。一sin 17cos 30。cos 17B.DA.1C12cos2a 1化简
6、：他、伍丄厂2tan4 _ ojsin2j+aj懈析】sin 47。一sin 17cos 30。cos 17_sin(17+30。) 一 sin 17cos 30。_cos 17_sin 17cos 30。+cos 17sin 30。一 sin 17cos 30。 _cos 171_sin 30=2(2)法一：原式cos2asin2a_1tan a(. n , n .、2Xianaisin 4cos a+cos 4sin aJ2(cos2a_sin2a)(1+tan a) _ (1一 tan a)(cos a+ sin a)2a+ sin a)2sincos法二：原式_cos_2a(n、cos
7、2Q_acos 2a2sin4 一 ajcos4 一 acos 2acos 2a . cos 2a_ (cos2asin2a)(1+co答案 (1)C (2)1方法技巧 三角函数式的化简要遵循“三看”原则考法二三角函数的给值求值(角)例2 (1)(2019辽宁师大附中期末)若a,均为锐角且cos a=|, cos(a+#)=-|4，则sin(|n+2)=()AB*133C.pD(2019福州外国语学校适应性考试)已知A, B均为钝角，siA+cos(A+n)=5=1015,且sin=咼，则A+B=(,3na.4巧)B 5nB47n解析Ta, p均为锐角，/Ova+0nTcosa=7，cos(a
8、+Q=14,/.sina=, sin(a+j?)=5143. cos ”=cos a+P a=cos(a+刃cos a+sin(a+沟sin a =(WX7+5143x47=2-sin(|n+2) = cos 2=12cos2=2 故选 B.因为 sin2+cos(A+|)=5 10, 1cos A , 1 厉5a/15所以 2 +2cosA 2 sinA=百 ，2：55即 1 一亨sin A=5015，解得 sin A=亨.1-魁=-噜因为A为钝角，所以cosA = ；1sin2A = 由 sinBl10, 且B 为钝角，可得 cosB=J1sin2B= 所以 cos(A+ B)= cos
9、Acos B sin Asin B=(-钥x(囑询=2 -又A, B都为钝角，即A, Be(n，j，所以A+BE(n, 2n),故A+B=7n，故选C.答案 (1)B (2)C方法技巧1给值求值问题的求解思路(1) 化简所求式子(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值2给值求角问题的解题策略(1) 讨论所求角的范围(2) 根据已知条件，选取合适的三角函数求值 已知正切函数值，选正切函数； 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0, n),选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0, n)，选余弦函数较好；若角的范围为(一2
10、，2)选正弦函数较好.(3) 由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.集训冲关1考法二已知 sin 2a=3，则 cos2(a+4)=()1-12 一 3D.解析：选 A2*.* sin 2a=3,(胡 1+cos(2a+2)1-sin 2acos2la+4_J=2=2=16故选A.2考法一 (1+tan 18) (1+tan 27)的值是()B. 1+边C2D2(tan 18+tan 27)解析：选 C (1+tan 18)(1+tan 27)=1+tan 18+tan 27+tan 18tan 27=1+tan 45(1-tan 18tan 27) +tan 18tan 27=2.故选
11、 C3考法二若 cos(|-a)=6，则 cos(3n+2a)的值为()a18B.1718c19D.1819解析： 选 A16,-1=2X(1)2-1= cos(42a)=2cos解析：依题意有 sin acos flcos asin fl=sin(afl) =3、爲14n又 0fla2, 0afl0)求周期；(3) 根据自变量的范围确定x+0的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根 据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4) 根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的单调区间. 针对训练(2019襄阳四校期中联考)设函数f(x)=cos(2x)cos xsin2(nx)求函数fx)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(a)=31021，且ae(n，劉，求fa-3的值.解：(1)Tfx)=sin xcos xsin2x1=|(sin 2x+cos 2x)1=乎sinl+4)1,fx)的最小正周期T=2nT=n.由
