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1、高中数学第二章函数2.1.1函数变量与函数的概念课前导引素材新人教B版必修1第二章 函 数本章概览内容提要1.函数是中学数学中重要的基本概念之一,是高中代数的一条主线,贯穿于中学数学的始终,是进一步学习高等数学的基础.函数思想是解决数学问题的重要思想,它的应用遍及整个高中数学,因此,函数知识是高中数学的重点和难点,也是高考重点考查的内容.本章的函数内容居于中学数学的关键地位,具有承上启下的作用.2.本章共分四个大单元:第一单元是“函数”,第二单元是“一次函数和二次函数”,第三单元是“函数的应用()”,第四单元是“函数与方程”.函数的概念建立在集合与对应的语言环境下,相对于变量x、y之间的元素依
2、赖关系无疑是质的飞跃.映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射.这并不是说映射观点下的函数与以往变量观点下的函数概念完全不同了,由于建立了集合的知识体系,只是看问题的角度不同,所以高中函数知识是初中函数知识的继续与加深,不仅研究函数的种类增加了,而且讨论函数性质的理念更深刻了,如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等.3.本章的重点(1)映射观点下的函数概念及对函数概念的认识与理解;(2)函数的单调性、奇偶性;(3)以一次函数和二次函数为载体,学习研究函数的一般方法;(4)揭示函数与方程的内在联系,拓展应用视野.4.本章的难点(1)映射观点下对函数概念的理解;(2)函数单调性的判定及应
3、用;(3)一次函数、二次函数的实际应用;(4)二分法求函数零点的近似值;(5)函数模型的建立与应用;(6)通过函数求值与作图,建立计算机技术与数学研究的整合.学法指导1.学习本章时要从实际背景和定义两个方面理解函数的本质,注意联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念.对有关函数的定义、性质要深刻理解,对函数概念要抓住函数是反映两个变量之间的关系这一本质,了解函数概念发展的过程中的不同的定义形式;对函数概念的学习要紧紧抓住对应法则这个关键,准确理解对应法则在确定函数中的含义;对函数表示方法的学习,要特别注意函数y=f(x)的图象与直线x=a至多只有一个交点.2.函
4、数单调性的学习,要结合图形理解,要做到文字描述、数学式表达和图形示意有机地统一;还要注意增函数定义中,当x=x2-x10时,y=y2-y10可转化为xy0;减函数定义中x=x2-x10时,y=y2-y10可转化为xy0.帮助我们采用比较灵活的形式分析函数的单调性.3.函数奇偶性的学习,也要做到文字、图形和表达式三统一,还要注意相应的变式:奇函数定义中的f(-x)=-f(x)可变为f(-x)+f(x)=0;偶函数定义中的f(-x)=f(x)可变为f(-x)-f(x)=0,及其在实际解决问题中的运用;特别注意:奇、偶函数的定义域都是关于原点对称的.若奇函数定义域为A且0A,则f(0)=0;偶函数f
5、(x)满足f(-x)=f(x)=f(|x|).奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,它们在实际解决问题中是非常有用的,应足够重视.4.对于一次函数性质的理解,要深刻领会“平均变化率”这一概念.对于二次函数的研究要重视配方法的掌握,要充分利用二次函数的图象来理解和记忆二次函数的性质.运用“待定系数法”解题的前提是已知函数的结构形式,因此,每学习一种函数,要熟练掌握其一般形式特点.5.函数的应用,一是各种实际问题对应的数学模型要在解题中不断总结、积累,能够熟练地将文字语言转化为数学符号,用数学表达式来反映实际问题中的数量关系,这就需要对文字能够
6、理解透彻,抓住关键字、词、句.二是运用所学数学知识解决问题,并加以检验.6.本章的知识内容中蕴含着许多基本的数学思想方法,例如,函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、配方法、换元法、待定系数法、二分法等,在学习中应充分挖掘教材,注意归纳总结,从而训练思维,形成自觉运用函数知识分析和解决问题的能力.2.1 函 数2.1.1. 函 数第一课时 变量与函数的概念课前导引情景导入 现代社会信息瞬息万变,国际间对破译密码的难度要求越来越高.原文称为明文,密码称为密文,有一种密码把英文的明文按字母分解,其中英文的a,b,c,x,y,z这26个字母依次对应阿拉伯数字1,2,3,25,2
7、6,给定某一个变换公式后,有关人员就可以将明文转换成密文,再由密文转换成明文,在这里明文与密文是两个不同的变量,通过变换公式使它们存在相互影响的依赖关系,这就是本节课我们要学习的函数关系.知识预览1.求函数的定义域实质是求使函数有意义的自变量的取值范围.2.设a、b是两个实数，且ab.(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，记作a,b.(2)满足不等式axb或axb的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为a,b),(a,b，其中实数a、b表示区间的两端点.3.函数的定义域：(1)如果f(x)为整式，其定义域为R;(2)如果f(x)为分式，其定义域为使分母不为零的自变量x的所有取值组成的
8、集合;(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域为使被开方数非负的自变量x的所有取值组成的集合;(4)如果f(x)是由以上几个部分的代数式构成的时，其定义域为几部分的交集;(5)f(x)=x0的定义域为xx0.4.如果函数关系式表示的是一个实际问题，除应考虑解析式本身有定义外，还要使实际问题有意义，如果不给出解析式，已知f(x)的定义域xA,则复合函数fg(x)的定义域是使g(x)A的x的集合，已知fg(x)的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)的范围.5.区间实质是表示数轴上一段实数的集合.6.区间在数轴上表示时，用实心圆点表示包括区间的端点，用空心圆圈表示不包括区间的端点.7.一个函数的构成要素为定义域、值域、对应法则，由于值域可由定义域和对应关系确定，所以，如果定义域和对应法则相同，我们称这两个函数相同.8.函数1
