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1、高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性课堂导学案新人教B版必修12.1.4 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念,函数奇偶性的判定与证明【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3+x;(2)f(x)=(x-1);(3)f(x)=+.思路分析：利用函数奇偶性的定义判断.解：(1)定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),f(x)为奇函数.(2)定义域为x|x1或x-1,定义域关于原点不对称,f(x)为非奇非偶函数.(3)定义域为-2,2,f(-x)=0=f(x)=-f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.温馨提示 第(2)小题易错解为:f(x)=
2、(x-1)=,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.二、函数奇偶性的综合应用【例2】(1)若奇函数y=f(x)是定义在-1,1上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)0,求a的取值范围;(2)若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),求a的取值范围.思路分析：(1)去掉函数符号f,等价变换出a的不等式.利用f(x)为奇函数和减函数的性质.(2)利用f(x)为偶函数的性质和证在(0,+)上为减函数,这个证明不可少.解：(1)由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)0等价于f(1-a
3、)f(a2-1),又f(x)是定义在-1,1上的减函数,得解之,得1a.(2)任取x1,x2（0,+）且x1x2,则-x1-x2.f(x)是区间(-,0)上的增函数,f(-x1)f(-x2).又f(x)为偶函数,得f(x1)f(x2),即f(x)在(0,+)上是减函数,容易判断2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数.f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)等价于2a2+a+13a2-2a+1.解之,得0a3.三、根据奇偶性求函数的解析式【例3】已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,求当x0时,f(x)的表达式.思路分析：函数只要设x0,则-x0,再由奇函数定义进行转化.
4、解：设x0,则-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).f(x)=-(x2+2x)=-x2-2x.当x0时,f(x)=-x2-2x.温馨提示 此题易错解为:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-(x2-2x)=-x2+2x.当x0时,f(x)=-x2+2x.应该注意:(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里;(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入;(3)利用f(x)的奇偶性,把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).各个击破类题演练1设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,xR,讨论f(x)的奇偶性.解
5、析：当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),f(x)为偶函数.当a0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)f(a),f(-a)-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.变式提升1若f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函数 B.偶函C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数解析：f(x)=ax2+bx+c(a0)为偶函数,b=0,从而g(x)=ax3+bx2+cx为奇函数.答案：A类题演练2设f(x)在R上是奇函数,在区间(-,0)上递增,且有f(2a2+a+1)0,3
6、a2-2a+1=3(a)2+0,且f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),2a2+a+10.解之,得a3.变式提升2已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(2)=10,求f(-2).解析：令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)是奇函数,g(-2)+g(2)=0.f(-2)+8+f(2)+8=0.f(2)=10,f(-2)=-26.类题演练3已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x|x-2|,求x0时f(x)的表达式.解析：设x0,且满足表达式f(x)=x|x-2|,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|.f(x)=x|x+2|.故当x0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.变式提升3已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为( )A.f(x)=x(x-2) B.f(x)=|x|(x-2)C.f(x)=|x|(|x|-2) D.f(x)=x(|x|-2)解析：当x0,f(-x)=x2+2x.f(-x)=-f(x),f(x)=-x2-2x.而x0时,f(x)=x2-2x,xR时,f(x)=x(|x|-2).答案：D1
