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1、通信网理论基础第二章习题2.2求M/M/m (n)中，等待时间w的概率密度函数。 解：M/M/m (n)的概率分布为：p0萝i (mp)k k! Po1- r=0(mp)kP P ommP kp 0+ (mp )m 1 - p n -m-1m!1-P-1假定nm, n三0,现在来计算概率Pwx,既等待时间大于x的概率。Pw x = F p p w x jj j=0 其中，Pjwx的概率为：P w x = 0 j& m(my x)iP w x = N e-myx -j =i!Pwx=1=0 jm-1 m j n - 1 m jx=Nn-1P Nj-mjj =mi =0e - myx (myx)
2、i + p i!nmm pm!0j=mmm p n -Nm-1m!0i=0Sj-m(myx) ip j e 一myx + p ni!i=0(myx) i p m+i p ne -myx + P1 - pni!Pw x =P01 -p(pm)me -(my-九)x m!特别的,新到顾客需等待的概率为：PW 0 = P-p(pm)mm!(kx) nm1mmP0e mRxm!(1 一 p)p m (mp k )2 2 mRp mi!(n m 1)!i=0(mpk) nm1一 m pp n(n m 1)!mmP0在nfw(x) = m!(1 P)P m (mR k)e (mp-k)xP w=* =Pn
3、注：Pw = 0 = 21PD 表示服务时间为定值 b ，k k=02.4求M/D/1排队问题中等待时间W的一、二、三阶矩mg m2、m3, 到达率为 k 。解：G (s) = shPk其中sk +kB(S)B(s) = I *6 (t b)e stdt = e sb 0又 G(s) = 2 g s i i=0( ) = s(1 P ) 从而G( s) = s k + ke - sb.pg si i=01Ps k + k2j=0kb2(1P)2(1九b)2(1+2kb)(1 P)kb4 g =3= s(lP )(1 P)(2kb3 +k2b4) g212(1 kb)324(1 kb)4肌=-G
4、，(0) = g =严、1 1 2(1 P )m = G(0) = g x 2 =；+卩)kb32 26(1 p )2G(0) x6(1 + 2 P)kb4m3 =G (0) = g3 X 6 =千耐(kb =p)2.5求M/B/l, B/M/l和B/B/l排队问题的平均等待时间W，其中B是二阶指数分布:f (t) = ak ek1t + (1 a)k ek2t1 1 2 2k ,k00a 112解：M/B/lfaX (1 -a )XB( S) = L f (t )e - stdt = + v 丿0X +s1a1 -aX r1w = B (0) =+1X_XmW =2(1-P )B/M/1=b
5、 (0)=竺+2(1zaX2X2 1 2w2-ak 2 +aX 2= 1 2X2X 2 -aXXX 2 -(1-a)XX2X11212P = Xw = X1a 1-a、一 +:卩=P1(1 -a )X2= P2o =1+ 一y - yo + X y - yo + X12取0 ab, 求：稳定状态时系统的队列长度为k的概率p，顾客到达时队列的长度为k的概率v , kk 顾客离去时队列的长度d，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时 k间，评论计算结果，并讨论aWb的情况。解：由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，经 过b后，服务完毕，
6、顾客离去，再经过a-b后，下一个顾客到达。此时有：到达离去 到达(a - b) / /akkk 二 1k 二 0k 二 0k丰0顾客不等待时w = 0G/G/1 上界公式_ O 2 +O 2 w rt2t (1-P)O 2 +O 2 :.w t-2t (1-p)p(T) =5 (t 一 a).w = 0p(t) =5(t -b).O 2 =O 2 = 0Ttab当a t，将造成呼损，T t时无呼损。 p （t） = Jb（T ）dT贝IcX2 + 4Xp (X + 2 p )2=La(t) fb(T )dTdt = fXe Jt J气2p)2Te-2也dTdt =0t0t2.8在优先级别队列中
7、，a队为优先级，不拒绝，b队为非优先级，只准一人排队等待（不 计在服务中的），且当A队无人时才能被服务，求各状态概率，A队的平均等待时间和B队 的拒绝概率。解：说明：0 状态代表系统中无顾客状态； i，j 状态代表系统中正在服务且 A 队中有i个顾客，B队列中有j个顾客 排队的状态。状态转移图如右，A队到达率为九,1+九2九2九1九1九1九1九20 01 0B队到达率为为2,服务率系统稳定时应有P可得到特征方程如下:（九 +九）P =pP1 2 0 00（ +九 +九）P = （P + P ） + （九 +九）P1 2 00 01 10 1 2 0 012i ,01 i-1,0i+1,0（4+
8、九）P =x P +pP+ 九 P i 01i,11 i-1,1i+1,12 i,0123.45由于4是差分方程，不妨设其通解为：Pi0二p00xi代入有:（1+P +P ）p Xi = P p Xi-1 + p Xi+1 n x2 一 （1 + P + P ）x + P 二 01 2 00 1 00 00 1 2 1/ 0 X 11 + P + P - * 11+P 2 + P 2 - 2 P + 2 P + 2 PPX 二121212丄 2_0 2由于5是非齐次差分方程：p 一（1 + p ） p +P p +P p = 0 苴特征根为.a = pi+1,11i ,11 i-1,12 i,
9、01p = AP i + Bx i假设其通解为. pi,1A 1BX0 代入前式得.B - Xi +1 -（1+P ）B -Xi +PB0 1 0 1 0 2 00 0=-p解之，得.代入 3 式得/ p = Ap i - p X i=P p + p2 00 11即.i,1100 0A = p (1 + p + p _ x )00( 120) lP = p(1 +P +P _ X)Pi si,100120P = p Xii,00 P = (P + P )pI00120由正则条件：P + （p +01p )p G +20P1 +P 2_ x )S p i = 101i=0p0=1 _P1 _P +(P +P )1 +p +P _X )1 1 2 1 2 0=另(r + 1)tp+ p口r,0r,r=0P(1 + P + P _ X )=
