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1、弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义 图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，TCB、TCA、PCA、PCB都为弦切角。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，PCA=1/2COA=CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。TCB=90-OCBBOC=180-2OCB,BOC=2TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）BOC=2CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）TCB=CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的
2、弧的圆周角）证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在BAC的一边AC上AC为直径，AB切O于A，弧CmA=弧CA为半圆,CAB=90=弦CA所对的圆周角（2） 圆心O在BAC的内部. ( B点应在A点左侧)过A作直径AD交O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理）（3）圆心O在BAC的外部,过A作直径AD交O于D那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90CDA=CAB（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧
3、相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在O中，O的切线AC、BC交与点C，求证：CAB=CBA。解：O的切线AC、BC交与点C，AC=BC（切线长定理）。CAB=CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。例2：如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF/BC.证明：连接DFAD是BAC的平分线BAD=DAC EFD=BAD EFD=DACO切BC于D ,FDC=DAC EFD=FDCEFBC例3：如图，ABC内接于O，AB是O直径，CDAB于D，MN切O于C，求证：AC平分MCD，BC平分NCD.证明：AB是O直径 ACB=9
4、0CDAB ACD=B，MN切O于C MCA=B，MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD。割线定理割线定理是现代词，是一个专有名词，指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，英文“Secant Theorem”。1定义文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LALB=LCLD=LT2。几何语言：割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点 LALB=LCLD=LT2 如右图所示。(LT为切线）2证明一已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的O的两条割
5、线 求证：PAPB=PCPD证明：连接AD、BCA和C都对弧BD由圆周角定理，得 A=C又P=PADPCBP （A，A）AP:CP=DP:BP即APBP=CPDP3证明二既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。如图所示。已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D求证：APBP=CPDP证明：连接AC、BD由圆内接四边形定理得ABD+DCA=CAB+BDC=180又ACP+DCA=DCP=180，CAP+CAB=BAP=180（平角的定义）ABD=ACP，BDC=CAP（同角的补角相等）ACPDBP（两角对应相等的三角形
6、相似）AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）APBP=CPDP（比例基本性质）14证明三根据切割线定理求证。已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D求证：APBP=CPDP过点P作圆O的切线，记切点为T由切割线定理可知：APBP=PT2，CPDP=PT2所以APBP=CPDP相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。1概念定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB、CD交于点P则PAPB=
7、PCPD（相交弦定理）概述：相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、 割线定理2证明证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论，得A=D，C=B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）PACPDBPAPD=PCPB，PAPB=PCPD注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。3比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。4相交弦定理推论定理:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于
8、点P， 则PC2=PAPB（相交弦定理推论）切割线定理1定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。几何语言： PT切O于点T，PBA是O的割线 PT=PAPB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：PT是O切线，PBA，PDC是O的割线 PDPC=PAPB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT2=PAPB=PCPD2证明切割线定理证明:设ABP是O的一条割线，PT是O的一条切线，切点为T，则PT=PAPB证明：连接AT, BTPTB=PAT(弦切角定理) APT=APT(公共角)PBTPTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT 2 =PBPA
