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1、各种粒子的量子方程作者： 施水荣各种粒子的量子方程施水荣 广东省惠州市惠阳电视台，广东惠阳 (516211) Email：2006.10.8 摘要：本文详细研究了常数张量及其性质，并应用常数张量的方法，探讨了电磁场、引力 场、YM 场的经典形式与各种量子形式及其相互转换关系，对各种形式是否等价给出了证 明，并将电磁场、引力规范场、YM 场纳入任意整自旋广义 YM 规范理论进行统一处理，进一步引出任意自旋量子方程，充分展示了常数张量分析方法的威力。应用张量的方法有以下好处：保证每一步协变性 ( 包含内部对称性与外部对称性 )，保证结果的协变性，不再 需要额外证明其协变性，即只要采用广义张量写法，
2、则群规范对称性、洛伦次对称性与广 义协变性是自然满足的。本篇比较全面地列出了电磁场、引力场、YM 场、中微子、电子 及任意自旋场量子方程的各种形式，并基于以上结果提出了自旋模型与中微子振荡模型。关键词：常数张量、经典、量子、自旋、对称性。1. 前言本文运用常数张量的方法，统一将电磁场、引力规范场、Yang-Mills 场及任意自旋场写成类中微子的量子方程形式。对于电磁场的类中微子的量子方程形式，历史上很多人都1 -5 作过研究，如朗道、Oppenheimer、Weinberg、Moses、Majorana 等，本文在此基础上运用新的方法常数张量分析方法，将电磁场情形推广运用于 Yang-Mil
3、ls 场与引力场规范 理论及一般情形，得到了所有粒子的量子方程形式，并进一步写出了各种粒子方程的多种 等价形式。2. 数学准备2.1 约定符号约定：直积； ：直和；：叉乘；：点乘；*：霍奇星算子 ;采用正交标架：g ab = d i ag ( 1 , 1 , 1 , 1) , 这样可以不区分协变、逆变指标 ; 对易与反对易指标约定：T ab = T ab - T ba T ( ab ) = T ab + T ba ; 坐标指标符号：小写阿拉伯字母u , v , s , t , p , q ； 标架指标符号：除坐标指标符号外的小写阿拉伯字母a , b , c , d ,. ； 旋量指标符号：大写
4、阿拉伯字母A , B , C , D ,. ；6自旋指标符号：希腊字母2.2 泡利矩阵, , , , , ,. 。s = 0 11 0 ，0 - ii 0 ，1 00-1 001000000-1 00100-1 a , b = 2 ic2ab c(s/ 2) 0-1 0010000000000000000000000100-1 0c= 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) a , b = 2 ab (2.2.1)2.3 SO(4) 群生成元2.3.1 空间旋转生成元与 洛仑兹旋转生成元000000-1 00100000000100000-1 00000000000000100000-1 00R
5、 = i ， i， i 000100000000-1 000L = i， i ， i c R a , R b = i R a , L b = iab R c L a , L b = icab L c L a , R b = iab L c0-1 001000000100-1 0cab L c (2.3.1)00100001-1 0000-1 002.3.2 空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元的混合表象000100-1 00100-1 000s+ = R + L = i，i ，i000-1 00-1 001001000s - = R - L = i，i ，ic2 + a , + b = 2 iab
6、 + c(s+ / 2) = 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) + a , + b = 2 ab - a , - b = 2 i + a , - b =0 c2ab - c(s- / 2) 0010000-1 -1 0000100= 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) - a , - b = 2 ab s+ = (- y x , - I y , y z ) s- = ( x y , - z y , y I ) (2.3.2)2.4 光子自旋矩阵= i0 0 000-1 0 1 00 0 1， i 0 0 0-1 0 00 -1 0， i 1 0 0 0 0 0 a , b = icab
7、c g2 = 1 ( 1 + 1) (2.4.1)2.5 转换矩阵-1 0 0 10010010000011 0 0 01S em =2- i 0 0 - i0 1 1 00 i - i 0S ex =+ +s+ = S em IS em s- = S em I S em (2.5.1)2.6 矩阵约定a = (- , i ) + a = (- + , i ) - a = (- - , i ) (2.6.1)3. 常数张量分析3.1 常数张量性质的物理证明 注：本节证明属于说明性的，数学上不够严格，但结论是正确的。本节讨论的是最一般的 Yang-Mills 理论，包括引力场与经典YM 场。底流
8、形采用自然基，底流形指标与群指标在 引力场与经典YM 场情形下变换都是独立的，以下保持底流形指标不变，对群指标进行变 换。3.2 广义 Yang-Mills 理论情形3.2.1 YM 理论T 线性无关，且满足 T , T = if T 则可以得到以下 YM 理论。U ( ) = exp i T 注：群参数 可以是实数也可以是复数。UD u UD u D u = u + iA u T-1 A u T UA u T -( u U ) Uuvuv F TUF T U -1 3.2.2 命题证明Fuv = u A v - v A u + if A u A v (3.2.1)F A A命题一：证明：u
9、vB ( = Fuv T B ) 是混合张量。(3.2.2.1)由 Yang-Mills 理论得变换关系F AA-1 以得AA exp i T uv ( B ) = UF uv ( B ) U ，所 exp - i T T A , B u , v F A = F T Au , v A , B所以是协变旋量标，结合是坐标矢量标，所以标的混合张量，证毕。u vB uv B 是关于,指命题二：Fuv 是混合张量。(3.2.2.2)证明：F A A无穷小变换uv ( B ) = ( 1+ i T ) Fuv ( B ) ( 1- i T )Fuv T = i F uv T T A AFuv T B =
10、 i F uv if T BFuv = iifF uv Fuv= iif 可得FT uv exp i if T exp - i if 由上得 是旋量标，结合u , v 是坐标矢量标，所以Fuv 是关于u , v ,证毕。指标的混合张量。T命题三：群基证明：AB 是混合常数张量。(3.2.2.3)F A A A由 u vB ( = Fuv T B ) 是混合张量及Fuv 是混合张量，可得T B 是关于A , B ,指标的混合常数张量。 证毕。 命题四：结构常数f证明：是常数张量。(3.2.2.4)T A B A A由结构方程证毕。 B T C = if T C 及T B 是张量，可得fT A是关
11、于 , ,指标的常数张量。命题五：群基协变导数证明：由 Yang-Mills 理论得B ; s = 0 。(3.2.2.5)( F uv T ) ; s = s ( Fuv T )+ i A s T , F uv T ( F uv T ) ; s = s ( Fuv ) T + iA s Fuv if T 因为Fuv ; s = s Fuv + iA s Fuv if ( F uv T ) ; s = F uv ; s TA A( F uv T B ) ; s = Fuv ; s T BA得Fuv T B ; s = 0T AB ; s = 0证毕。命题六：结构常数协变导数f ; s = 0 。(3.2.2.6)证明：T A B A A由结构方程 B T C = if T C 及T B ; s = 0( TT)A B B C
