线性代数复习笔记

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1、线性代数复习笔记 首先，要先搞明白整本书的学习脉络及重点： 第一章先介绍了线性方程组及矩阵的一些基本概念，从线性方程组的消元法引出 矩阵的初等变换；1. 掌握线性方程组的消元法（书 p.4 例 1）2. 利用矩阵的初等变换解线性方程，会将矩阵化成行最简形矩阵。（书 p.15 例 1 p.16 例 2）（一定是简答题） 第二章从分析二阶矩阵和三阶矩阵所确定的行列式结构出发，得出 n 阶矩阵所确 定的n阶行列式，并导出求解一类特殊线性方程组的克拉姆法则；1. 计算二，三阶行列式（p.25课后习题1）2. 排列的逆序数（p.26例1）3灵活运用行列式的性质计算行列式的值（p37习题5：可做一半的题目

2、）4. 会求行列式的每个元的代数余子式及各行各列的展开式（p.46习题1）5. 掌握克拉默法则中定理1,定理2的内容，会解方程（p50.习题1和习题2） 第三章则讨论了矩阵运算、逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、矩阵的秩等的概念；1. 矩阵的加法和数乘运算比较简单，重点要会矩阵的乘法（p.56例5和例6）2. 特殊矩阵的关键运算方法。3. 转置矩阵的性质，对称矩阵和反称矩阵的概念（p.66例4,习题4）（会出推理 题）（p.69 习题 1,3,4,7）4. 矩阵的伴随矩阵（p.69习题8）5. 知道逆矩阵的定义，重点掌握方阵可逆的充分必要条件（p.71例2，例3）6. 利用逆矩阵求解线性方程（p.7

3、2例6）7. 综合运用（p.73例8p.75习题7，9）&利用初等变换求矩阵的逆矩阵（p89.例1）9.利用初等变换解矩阵方程（p.90例2）10利用初等变换求矩阵的秩（p.95例4p.96习题4和习题7）第四章利用矩阵秩的概念和及性质讨论线性方程有解的条件，随后又讨论了向量 组的线性相关性，最后再综合利用前面的知识，讨论线性方程组解的结构。1. 线性方程组有解的条件中掌握定理1，看书102页倒数3,4段的文字，即是解 齐次方程组和非齐次方程组的过程（p.102例1 p.103例2）2. 向量的线性运算较简单（p.109习题5）3. 掌握判定向量线性相关和无关的方法。（p.116习题4，5）4

4、. 会求向量组的秩和向量的最大无关组（p.121例4）5. 求齐次线性方程的一个基础解系和通解（p.128例1两种方法掌握一种即可。）6. 求非齐次方程组的通解（p.131例3）这个较麻烦，需要记忆解题过程 第五章讨论了矩阵的特征值和特征向量，需要学习矩阵可对角化的条件，以实对 称矩阵可对角化为重点。1. 求向量的内积，长度和夹角（p.149习题1）2. 用施密特正交化方法将向量组正交化（p.147例2和例3）3. 根据正交矩阵定义6判定正交矩阵（p.149习题3）4. 求矩阵的特征值和特征向量（p.157习题2）5. 利用特征值和特征向量的定义解题（p.151例1）6. 利用矩阵相似和矩阵可

5、对角化解题（p.160例1和p.161例2）7掌握实对称矩阵对角化的方法（p.167习题1和习题2）第六章讨论了二次型化为标准型的三种方法及正定二次型的判定，和用正交变换 化二次型为标准型。1会实对称矩阵和实对称矩阵对应的二次型的相互转化（p.174习题1和p.175 习题 3）2化二次型为标准型，掌握其中一种方法即可。（p.181习题1）3二次型的正定型的判断，掌握定义1的内容。（p.184例3）线性代数总结1若|A|=0则A不可逆，r（A）vn,Ax=O有非零解，0是A的特征值，A 的列（行）向量线性相关。2.逆矩阵的求法:A-1A*PA(II) XA = B（A：E）初等行变换（EA-1

6、）a b-1 _ 1d-b-A B -TAtCtc dad bc-ca一C D一BtDt3.矩阵方程的解法：设法化成（I）AX = B或当|A|丰0时,（D的解法：构造AB）初等行变换（EX）（当B为一列时 即为克莱姆法则）（II）的解法：将等式两边转置化为AtXt = Bt，用（I）的方法求出XT，再转置得X（1）n是Ax=0的解n+耳也是它的解、1 2 1 2n是Ax=0的解对任意，kn也是它的解n,nn 是Ax=0的解对任意个常数 12 k九,九，九,九n +九n +九n也是它的解12 k 112 2 k k4 线性方程组Y是Ax =P的解n是其导出组x = 0的解Y+n是Ax二B的解n

7、 ,n是Ax =阳勺两个解-n是其导出组x=0的解1 2 1 2n 是Ax =p的解则n也是它的解n -n是其导出组x=0的解2 1 1 2（7）n,n，n 是Ax 二 p的解则12 k九n +九n +九n也是ix=p的解。九+九+九=11 12 2 k k12 k九n +九n +九n是Ax二0的解。九+九+九=o1 12 2 k k12 k5,矩阵转置的性质：（At）T = A （AB）T = BrAr 3 朋 AT = A(A+B)t = AT + Bt矩阵可逆的性质：(A1)1 二 A (AB1=B1A1 (kAi=kiAi Al =| A1(A1)T =(AT)1(A1)k =(Ak)

8、1 =Ak伴随矩阵的性质：(A* )* =A”-2 a(AB =BA*(kA)* =kn1A*，A* = An-1(A-1)* = (A* )-1 = _aA(AT)* = (A*)TAA = A*A= AEP =a116.施密特正交化法：（a ,a ,a线性无关）正交化 0； IA I 0 .最后，需要同学们注重对基本概念的理解与把握，熟练运用基本性质及基本运算， 线性代数中定义性质比较多，同学们应整理清楚不要混淆，同时基本运算与基本 方法要过关，并注重知识点的衔接与转换，总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，但变化总离不开书本，同学们要 在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，将书本多复习几遍，最重要的是 掌握书本上的习题和课后练习题。希望同学们都能取得好成绩。