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1、第1讲等差数列、等比数列 考情考向高考导航1等差数列、等比数列的判定及基本运算是每年高考的热点，在考查基本运算的同时，也注重考查对函数与方程、等价转化等数学思想的应用2对等差数列、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和真题体验1(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8C4 D2解析：C应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错设正数的等比数列an的公比为q，则解得a3a1q24，故选C.2(2016天津卷)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数
2、n，a2n1a2n0”的()A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：C设数列的首项为a1，则a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)，当q0，因为1q的符号不确定，所以无法判断a2n1a2n的符号；反之，若a2n1an0，即a1q2n2(1q)0，即q10，故“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的必要不充分条件3(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解：(1)设an的公差为d，由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是
3、a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等价于n21ln100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN主干整合1等差数列(1)通项公式：ana1(n1)d；(2)求和公式：Snna1d；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列2等比数列(1)通项公式：ana1qn1(q0)；(2)求和公式：q1，Snna1；q1，Sn；(3)性质：若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；anamqnm；Sm，S2m
4、Sm，S3mS2m，(Sm0)成等比数列热点一等差、等比数列的基本运算题组突破1(2019宁波三模)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan的值是()AB1C D.解析：A依题意得，a()3,3b67，a6，b6，又，故tantantantan，选A.2(2020广州调研)已知等比数列an公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于()A B1C或1 D1或解析：A若q1，则3a16a129a1，得a10，矛盾，故q1.所以2，解得q3或1(舍)，故选A.3(2019淄博三模)设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)Sn
5、nSn1(nN*)若1，则()ASn的最大值是S8 BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7 DSn的最小值是S7解析：D由(n1)SnnSn1得(n1)n，整理得anan1，所以等差数列an是递增数列，又1，所以a80，a70，所以数列an的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.等差、等比数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本元素；(2)解题思路：设基本量a1和d(q)；列、解方程(组)；把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量热点二等差(比)数列的判断与证明例1(2020龙岩质检)已知数列an满足an
6、3an1k3n1(nN*，n2，kR)(1)设a11，k0，证明数列是等比数列；(2)对任意kR，是否存在一个实数t，使得bn(ant)(nN*)且bn为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解析(1)证明：当k0时，an3an11，所以an3an13，即3，又a10，所以数列是首项为，公比为3的等比数列(2)当n2时，bnbn1(ant)(an1t)(ant3an13t)(3an1k3n1t3an13t)(k3n12t)k.要使bn为等差数列，则必须使12t0，t，即对任意的kR，存在t，使bn为等差数列判断和证明等差或等比数列的方法(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项
7、公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2019郑州二模)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,
8、18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以bnb1qn12n152n3，即数列bn的通项公式bn52n3.(2)由(1)得数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.由S1，2可知，数列是以为首项，2为公比的等比数列热点三等差与等比数列的综合问题例2(2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*)已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值
9、审题指导(1)利用条件求出等比数列的公比和等差数列的首项及公差，写出通项公式，进而求出前n项和(2)由(1)知Tn2n1，将其拆成2n和1两部分，2n是等比数列，易求和，1是常数，易求和，再结合Sn和已知条件，可求得n的值解析(1)设等比数列bn的公比为q，由b11，b3b22，可得q2q20，因此为q0，可得q2，故bn2n1.所以，Tn2n1.设等差数列an的公差为d，由b4a3a5，可得a13d4，由b5a42a6，可得3a113d16，从而a11，d1，故ann.所以，Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn可得2n1n2n2
10、n1，整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4.所以，n的值为4.(1)关于等差、等比数列的综合问题大多为两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量；首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键(2)求数列中的最大项，可以利用图象或者数列的单调性求解，同时注意数列的单调性与函数单调性的区别(2020湖北八校联考)已知等比数列an的公比q1，a12，且a1，a2，a38成等差数列，数列anbn的前n项和为.(1)分别求出数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，已知nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值解析：(1
11、)a12，且a1，a2，a38成等差数列，2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，q22q30，q3或1，而q1，q3，an23n1.a1b1a2b2anbn，a1b1a2b2an1bn1，两式相减得anbn2n3n1(n2)an23n1，bnn(n2)，令n1，可求得b11，bnn.(2)数列an是首项为2，公比为3的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，Sn.N*，Snm恒成立，故实数m的最小值为.热点四数列与传统文化的交汇创新数学建模素养数学建模数列实际应用中的核心素养以学习过的数学知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题数列问题，进而通过数学运算来解释实际问
12、题，并接受实际的检验.例3(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A3 f B3 fC12 f D12 f解析D由题意可知，单音的频率构成以a1f为首项，q为公比的等比数列，则a8a1q7f()7f.故选D.涉及等比数列的数学文化题频繁出现在考试试题中解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和
13、公式(2020银川模拟)九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.升 B.升C.升 D.升解析：A自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，a9，依题意有因为a2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8，故选A.限时45分钟满分74分一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n
