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1、 高一数学函数、函数与方程知识点总结 高一数学函数、函数与方程学问点总结 学优教育朋友式相处欢乐式学习 学问梳理 映射定义：设A，B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应关系，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合到集合的一个映射 定义传统定义：假如在某变化中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的 每一个确定的值，根据某个对应关系f，y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y=fx 函数及其表示函数三要素函数的表示方法近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射 值域 定义域对应法则 解析法图象法 传统定义：在区
2、间a，b上，若ax1x2b，假如fx1fx2，则 fx在a，b上递增，a，b是递增区间；假如fx1fx2，则fx在a，b上递减，a，b是递减区间。列表法 单调性导数定义：在区间a，b上，若fx0，则fx在a，b上递增，a，b 是递增区间；若f 减区间。 x0，则fx在a，b上递减，a，b是递 函数函数的根本性质最值最小值：设函数y=fx的定义域为I，假如存在实数M满意：对于任意 的xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0=M，则称 M是函数y=fx的最大值。 f-x=-fx，x定义域D，则fx叫做奇函数，其图像关于原点对称。奇偶f-x=fx，x定义域D，则fx叫做偶函数，其图像关于y轴对称。性
3、 周期性：在函数fx的定义域上恒有fxT=fx（T0的常数）则fx 叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做fx的最小正周期，简称 最大值：设函数y=fx的定义域为I，假如存在实数M满意：对于任意的 xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0=M，则称M是函数y=fx的最大值。 周期。 描点连线法：列表、描点、连线 平移变换向左平移a个单位：y1=y，x1-a=xy=fxa向右平移a个单位：y1=y，x1+a=xy=fx-a向上平移b个单位：x1=x，y1-a=yy-b=fx向下平移b个单位：x1=x，y1-b=yy+b=fx 函数图像的画法变换法伸缩变换横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w
4、1时）或伸长（当0w 1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1=wxy=fwx 横坐标变换：把各点的纵坐标y1伸长（当A1时）或缩短（当0A 1时）到原来的A倍（横坐标不变），即y1=y/Ay=fx 关于点（x0，y0）对称：=2y2y0y1=2y0-yy+y10x+x1=2x0 0-xx1=2x -yf2x0-x x=x1x1=x y+y1=2y0y1=2y0-y2y0-y=fxx=x1-1第1页共6页 关于直线y=x对称y=yy=fx 1对称变关于直线x=x0对称换 0-xx+x1=2x0x1=2x 关于直线x=x0对称y=yy1=yy=f2x0-x 学优教育朋友式相处欢乐式学习 例题
5、精讲 例1.(1)设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f：AB 若映射f满意f(a)f(b)f(c),则映射f的个数为。（4）解：列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.依据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察: f(a)1110f(b)00-1-1f(c)0-1-1-1由此可知符合条件的映射是4个. 例2.(1)已知f(x)=x+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;2 (2)已知 2 ,求f(x1)的解析式. 解:(1)f(x)=x+2x-1(x2) 以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)+2(2x+1)-1(2x
6、+12) f(2x+1)=4x+8x+2(x1/2)(2)由已知得 以x替代上式中的 2222 得f(x)=x-1(x1)2 f(x+1)=(x1)-1(x+11)即f(x+1)=x+2x(x0)例3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满意f( )=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，则a=_。 (2)已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则对f(x)的奇偶性的判定是?解:(1)由f( f(-x)=f(x)(x )=-f(x)知f(x)是周期函数，且3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数R)，在此根底上，寻找已知条件中的f(2
7、)与f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1)而f(1)=a，f(2)=1，a=1 (2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)又这里f(x+T)=f(T-x)为了靠拢，在中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x)由，得f(-x)=f(x)f(x)为偶函数. 易错题 例4.已知函数f(x)= 1-2x 1x ，y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称，求 g1的值.2第2页共6页 学优教育朋友式相处欢乐式学习 互为反函数 典型错解:由题设知g(x)与= g(x)=f(x+1)由此得g()=f()=- 错因分析:上面正确
8、，由导出消失错误.在这里 的反函数是g(x)，但 的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是 y= ，而是y= -1；y= 的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1. 的解析式):由已知得 = 正确解法:(着力于寻求=- 1-x2x(x-2) x(x-3)x3， = 又由题设知g(x)的反函数为 xx31令g()=b，则 21g()=-1.2=- = 12由得- b1=b32，解得b=-1， 当堂检测 1.设函数 x3,(x10)，则f(5)f(x)f(x5),(x10)22.已知f(x)的定义域为2，2，求f(x3.已知f(x)+2f(
9、 1)的定义域_ 1)=3x,求f(x)的解析式_.x4.设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时， f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式_.5.已知函数（1）若（2）求 f(x)2ax1,x(0,1,2xf(x)在x(0,1是增函数，求a的取值范围;f(x)在区间(0,1上的最大值. 第3页共6页 学优教育朋友式相处欢乐式学习 直击高考 1.函数y= (x0)的反函数是(B) A.y=(x-1)B.y=(x-1)C.y=(x0)D.y=(x0) 2.(201*北京卷)函数f(x)=-2ax-3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是
10、(D) A.a(-，1B.a2，+)C.a1，2D.a(-，12，+3.设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)= ，f(4)=0，则f =_-2_ -1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=_-2_ 6.若存在常数p0，使得函数f(x)满意f(px)=f(px p2)(xR)，则f(x)的一个正周期为_p/2_ 学问梳理 零点：对于函数y=f定理：假如函数y=f x，我们把使fx=0的实数x叫做函数y=fx的零点 x在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb x在区间a，b内有零点。即存在c（a，b
11、），使得fc=0. 零点与根的关系0，那么，函数y=f这个c也是方程f 关系：方程f 交点 x=0的根。 函数与方程x=0有实数根函数y=fx有零点函数y=fx的图像与x轴有 二分法求方程的近似解确定区间a，b，验证f afb0，给定准确度； 计算f 求区间a，b的中点c； c； c=0，则c就是函数的零点； 若fafb0，则令b=c（此时零点x0（a，b）；若fcfb0，则令a=c（此时零点x0（c，b）； ；否则重复以上a-b，则得到零点的近似值a（或b） 若f 推断是否到达准确度，即若步骤。 第4页共6页 学优教育朋友式相处欢乐式学习 例题精讲 1.已知函数 一个零点比1小，求实数a的取
12、值范围。f(x)x2(a21)xa2的一个零点比1大， 2解：设方程x(a21)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，1)0，所以x1x2(x1x2)10 2则(x11)(x2由韦达定理得a2(a即a21)10， a20，所以2a1f(x)4xx223x在区间1,1上零点的个数，并说明理由。327213f1410，f1410 33332.推断函数解：由于所以 fx在区间1,1上有零点 2又 91f“x42x2x22x22x1时，0f“x 当192所以在1,1上单调递增函数，所以 fx在1,1上有且只有一个零点。 易错题 3.设 fx3x3x8,用二分法求方程3x3x80在x1,2内近似解的过程中得 f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（B） A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定 当堂检测 1.假如二次函数yxmx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A2,6B2,6C2,6D,26,2.已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是_3.若方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（）A(1,)B(0,1)
