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1、高数作业 姓名：徐艳涛班级：电子商务1133学号：201161102348 偏导数在几何应用上的综述1 多元函数的极值1.1设函数在点的某个领域内有定义，对于该领域内异于的点，如果都有，则称函数在点有极大值；反之，若成立，则称函数在点有极小值.使函数取得极值的点称为极值点.（） 极值存在的必要条件 设函数在点可微分（或存在偏导数），且在点处有极值，则在该点的偏导数必为零，即.（） 极值存在的充分条件 设函数在点的某个邻域内连续且有一阶二阶连续偏导数，又，记，则 时，在点处取极值，且当时取极大值，时取极小值； 时无极值； 时待定.2.1条件极值、拉格朗日乘数法在讨论极值问题中，除对自变量给出定义
2、域外，并无其他条件，则称为无条件极值.而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值.拉格朗日乘数法：要找函数在条件下的极值可疑点，可以先构造函数，其中为某一常数，求对与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：由上述方程组解出和，则即为极值可疑点.3.1最小二乘法在经济分析中，我们经常要研究一些经济变量间的相互关系，其中最简单最常见的则为线性关系，我们希望利用一组已有的资料来寻找这一线性关系，使找到的能很好地吻合已有数据.记，称为计算误差或残差.我们希望找到这样的和，使Q取到最小值，这种根据残差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做最小二乘法.由极值存在的必要条件，使Q达极小的必须满
3、足 ， .从而可解得，若记，则又可得下面比较简单的表达式：，.41应用举例（1） 生产函数 考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素，但就其根本来说，决定企业内部能力的主要因素是劳动力和资金K，因而可记生产函数为.在经济分析中，有所谓要素报酬递减定律，也就是边际收益会递减.例如我们假定资金保持不变，则随着劳动力的增加，产量也将随着增加，但劳动力的边际产量将会下降，如图.1所示.图. 1如果资金和劳动力是可以相互替代的，则为得一不变产量水平可以有各种不同的劳动力和资金投入，而且若拥有资金越来越少，此时劳动力就要大量增加.同样，如果只有极少的劳动力，此时若再减少一些劳动力，则资金量就要大得多，这样我
4、们就可得到一族等量线，且等量线为单调下降的下凸曲线（两阶导数大于零），如图2所示.图2 在等量线上，Q为常数，所以，故得.定义为技术替代率，或要素的边际替代率.（2）Cobb-Douglas生产函数20世纪30年代，西方经济学界提出如下形式：的生产函数，称为Cobb-Douglas生产函数，这类函数有如下一些优点，因而得到较广泛的应用： 它是次齐次函数； 等量线为单调下降和下凸的； 常弹性，资金弹性为,劳力弹性为； 系数A表示技术进步；（3） 齐次函数和欧拉定理 若，是次齐次函数，则.特别地，当时，有.它表示：资本投入量乘以边际产量加上劳动力投入量乘以劳动力边际产量等于总产量.5.1应用空间曲
5、线的切线与法平面方程.切向量为 切线方程 法平面方程 空间曲面的切平面与法线方程.法向量为 切平面方程 法线方程 对于曲面.(2) 函数极值定理6 (必要条件) 设函数有偏导数并取得极值，则定理7（充分条件）设函数某邻域内连续并有一阶及二阶连续偏导数，且 记 则当时，有极值，且；当时，无极值；当时，情况不定.多元函数的条件极值求函数在满足条件:下的条件极值. 构造拉格朗日函数解方程组 得可能极值点(x,y,z).再进一步讨论极值点的充分性.许多情况下可借助于问题的实际意义来判定.2 习题解析1. 多元函数的基本概念例1求下列各函数的定义域（1） z=; （2） z=ln+; （3） 分析 二元
6、函数的定义域一般是平面区域，三元函数的定义域一般是空间区域.这些点集可用使函数有定义的自变量所应满足的不等式或不等式组表示.解 (1) 且 ,即 ，得 D=（2） 得 .（3） 且得 例2 设=,求.解（方法 一）令=,则有 =, 由原式 = 知 =故 = ()（方法二）因= 故 =. ()例3 求下列各极限:（1） ； （2） ； （3） ； （4） .分析 求多元函数的极限可利用多元函数的连续性及一元函数求极限的一些方法.解 （1） 用函数的连续性.=1 . （2）用一元函数求极限的方法(分子有理化).= .(3) 用一元函数的重要极限.=. (4)例4 证明极限 不存在. 分析 因为二重
7、极限存在，是指以任意方式趋于时，函数都无限接近某常数.所以，证明极限不存在，只要以某一特殊方式趋于时，函数不趋于某一确定值;或以两种不同方式趋于时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在. 证（方法一） 若点沿直线趋于，则；若点沿直线趋于，则所以极限不存在. （方法二） 若点沿直线趋于，则所以极限不存在.例5 设 证明 在 处不连续，但两个一阶偏导数存在. 证 ， 当沿直线趋于时 当取不同值时，极限值不同.故不存在.所以在处不连续.但根据偏导数的定义知；.所以在处两个一阶偏导数存在. 本例说明，对于多元函数，偏导数存在未必连续.例6 证明：函数在处连续，但两个一阶偏导数不存在.证 因在的定
8、义域内，所以在处连续. 又因在处不可导，所以不存在； 同样在处不可导，所以不存在.例7 设,证明在处一阶偏导数存在，但不可微.分析 要证函数在处是否可微,只须检验极限:是否为0， 其中.若极限为0,则函数在处可微,否则不可微. 证 因由定义知但当时，上式极限不存在.(取路径)因此，在处不可微.2. 多元函数微分法例8 求下列函数的偏导数（1）;（2） ;（3） .分析 多元函数对其中一个变量求偏导时，只需将其余变量视为常量，利用一元函数的求导公式或求导法则求导即可.解 （1） （2） (3) ; ;. 例9 设求分析 本题是求函数在点处关于的偏导数，由定义知,固定 ,再对求导即可. 解 因，所
9、以 例10 (1)设，求 ；.(2)设具有二阶连续导数,求.(98年考研题)解 (1) ,；(2) 例11 求下列函数的全微分: （1） （2） . 解 (1) 因为 所以 . 因为 ；所以 3 多元复合函数求导例12 求下列函数的偏导数或全导数.(1) 求 ；(2) 求 u xz v y分析 多元复合函数求导时，先画出复合线路图，再按图写出求导公式.这种方法对复杂的复合情形尤为有利.解（1） xz t y 例13 设具有一阶连续偏导， s xu t y求； 说明 抽象函数求偏导时一定要设中间变量. 解 令则 例14 设具有二阶连续偏导数，求分析 求多元函数的高阶偏导数，关键在于牢记多元复合函
10、数的各阶偏导数仍是与原来函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自变量为自变量的多元复合函数.高阶偏导数可采用简便记法，如分别表示对第一、第二中间变量的偏导数，表示先对第一、再对第二中间变量的二阶混合偏导数.当高阶偏导数连续时，应将混合偏导数并项.解 令 则 u xz v y 常见错解 错误的原因是把误认为常量.例15 设其中具有二阶连续偏导，求分析 对抽象的多元复合函数求二阶偏导,首先要搞清楚函数的结构.解 4 隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变量求导，确定哪些是自变量,哪些变量函数. 例16 设求分析 由题目要求知，方程确定隐函数，即是的函数.解（方法一）(两边求
11、导法) 方程两边对求偏导，得 所以 （方法二）(公式法) 设F.所以 例17 设求解（方法一） 设 则 所以 （方法二）等式两边对求偏导，得 得 等式两边对求偏导，得 得（方法三） 原方程化为，令 .则 注 用隐函数求导公式求时，要视为常数，同样求时,要分别把及看成常数.而在等式两边对或求偏导时(方法二)，应视为的函数，不能把看成常数.例18 设，求.分析 求隐函数的高阶偏数，一般都用隐函数求导公式求一阶偏导数，再用复合函数求导法求二阶及二阶以上的偏导数. 解 设则有 ， . .例19 设都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，证明： 证 因 所以 注 偏导数均是一个整体记号，不能看作分子与分母之商.例20 设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足方程分析 将看成以为自变量的复合函数，中间变量为由复合函数求导法则求出再由隐函数求导公式求出 u x y v z解 所以 例21 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.(1) 设 求 (2) 设 ,其中分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （3）设 其中具有一阶连续偏导数，求 分析 由三个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个一元函数,即其中两个变量是第三个变量的一元函数,如(1)、（2）, 可通过解关于的线性方程组完成. 由四个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个二元函数,即其中两个变量确定为另两
