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1、线性振动理论和振动近似解法简略史摘要：读史使人明智，本文意在对线性振动理论和工程振动近似解法的发展做简要明了 的阐述，其中线性振动理论史以科学家对具体模型的解答为路线，依次阐述：单摆、弦线、 梁、膜、板壳、三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。工程近似解法以时间为顺序依 次阐述各近似解法，依次简要阐述：邓克莱法、逐步近似法、阵型叠加法，传递矩阵法、瑞 立法、里茨法、有限元法。部分近似解法做了较为详细的解释。关键词 线性振动 近似解法 简略史1 线性振动理论1.1 单摆单摆是最早引起人们注意的振动之一，真正对单摆的研究要追溯到 16 世纪，早在 1581 年，伽利略发现了摆的等时性，之后科学家
2、对单摆的研究主要就是计算摆的周期，当然也包 括伽利略本人。伽利略在 1638 年用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方 根,还从能量的角度讨论摆的周期，但始终没得到正确的比例系数。结束摆周期的计算是在 17 世纪中后叶，惠更斯利用几何方法，得到摆振动周期的正确公式。1678 年牛顿在其划时代的 自然哲学的数学原理中建立运动变化与受力的关系，使振动问题的动力学研究成为可能 , 假设了介质阻力与速度及速度平方成正比,形成阻尼概念的雏形，在 1728 年欧拉考察了摆在 有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程，至此单摆在无阻尼和有阻尼的条 件下的周期计算基本结束，后期对摆的研
3、究主要集中在摆的大幅振动和其具有的非线性特征。1581年伽利略单摆等时性1638年伽利略摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方根，即：T二1LJ(1673年伽利略利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式 准确解：T 二 4j(l/g)*K (sin(a/2)广1728年 欧拉 建立并求解了摆在有阻尼、介质中的运动相应的二阶常微分方程I)图一 单摆周期的发现及求解简略图1.2 弦线在振动力学研究兴起之前,有两个典型的振动问题引起注意,一个是单摆摆动，另一个就是 弦线振动。弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动 ,单摆摆动是单自由度离散系统的振动 , 振幅不大时都可认为是线性的。单摆振动比较简单,对后
4、来线性振动的发展影响不大,弦线振动 则成为 18 世纪振动力学研究的中心问题之一。人们对于弦的定性定量的认识要追溯到公元前 6 世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉 斯，他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之 比为 6:4:3。战国时期的古人已定量地总结出弦线发音与长度的关系,将基音弦长分为三等份, 减去或增加一份可确定相隔五度音程的各个音。对弦的研究主要集中在振动频率的计算和求解振动方程， 17 世纪法国著名的数学家 马林梅森曾用实验方法测定弦振动频率以此推断出密度和张力相同且发出谐音的短弦频 率，1638 年伽利略明确弦线振动频率与其长度、密度和张力的
5、关系。弦线振动理论的建立在 18世纪，1727年约翰贝努利将弦质量集中在等距离分布的点上，建立无阻尼自由振动系统 模型并解出解析解。1746年达朗贝尔考虑弦线位移随时间和弦上位置的变化导出描述弦线振 动的波动方程并求出行波解。1753年丹尼尔伯努利用无穷多个振动模态的叠加得到弦线振动 的驻波解。法国力学家、数学家拉格朗日在 1759 年从驻波解出发推导出行波解,从而在物理 上充分理解了均匀弦线的振动规律。1762年欧拉和1763年达朗贝尔分别研究了非均匀弦线和 重弦线的振动，之后其他连续体的振动问题也相继提出。图二 弦线振动问题的发展简略图1.3梁在数学家和力学家解决了单摆和弦线振动后开始着手
6、更为复杂的振动问题，研究主要集 中在梁、膜、板壳和圆柱，并在此研究上得出三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。早在 17 世纪中叶欧拉就研究导出了梁的自由、铰支和固定三类边界条件下梁横向振动的 振形函数与频率方程,然而他却忽略了截面转动和剪切变形的影响，直到19 世纪末和 20世纪 初才分别由瑞利和铁摩辛柯加以补充修正。集中质量梁和离散化的连续梁在 20 世纪初被相继 解出。1.4膜1759 年欧拉将膜视为两组互相正交的弦而解决了矩形膜的振动问题 ,但处理圆形膜的尝 试未能成功,直到 1829 年泊松才完全解决了膜振动问题。1868 年 Mathieu 在研究椭圆薄膜振 动时涉及以余弦函数为
7、系数的常微分方程，至今一些对椭圆膜振动的研究主要在几何非线性、 非线性惯性和阻尼效应条件下的 Mathieu 方程的求解。1.5 板壳早期对板壳的研究，主要是对部分模型建立和求解运动微分方程以得出解析解，模型的 限制使得其求解范围小，满足不了日益庞大的工程建设。1789年雅格布伯努利将板视为两组互 相正交的梁导出其运动微分方程。 1787 年 Chladni 对玻璃和金属板振动波节线的实验极大地 促进了板和壳振动的研究，1828年纳维建立板弯曲振动的严格理论，1891年Lamb研究了圆 柱形壳和球壳的伸长性振动。1.6 三维弹性体谈到三位弹性体，我们须先谈谈人人皆知的胡克定律，和广义胡克定律。
8、 1678年胡克提 出弹性定律,建立了弹性体变形与恢复力间的线性关系 ,引入了振动系统的基本组成部分 弹簧。广义胡克定律的应用更为广泛，它是弹性力学和材料力学的前提和基础， 1828 年纳维 提出并研究了三维弹性体的振动。三维弹性体振动理论由泊松于 1829 年和克莱布施于 1862 年分别建立,作为特例,泊松解决了弹性体的扭转振动问题。1.7激励响应、强迫振动自从1807年杨提出了载荷的动力效应，在不到一个世纪里，振动物体的激励相应和强迫 振动理论就基本建立起来， 1829 年蓬斯莱研究了杆在冲击作用下的轴向振动,并发现脉冲力能 引起杆的共振,可用以说明一队士兵用整齐步伐通过悬索桥的危险性。
9、 1834 年度哈密将任意外 激励视为一系列冲量激励的叠加,从而建立了分析强迫振动的普遍公式。1849 年斯托克斯发现 了初位移激励与初速度激励两者响应的联系 ,并且由此对外激励得到与度哈密相同的结果。 1883 年圣维南研究杆件振动时也有类似的结果。一般弹性体受迫振动的数学理论在 1894 年 由庞加莱基本建立,1906 年希尔伯特和皮卡分别借助积分方程完成。2 近似解法随着科学技术的发展和工程力学的需求，早期的振动力学理论已达不到日益庞大和复杂 的工程需求，在19 世纪前后近似解法应需求而生，其主要表现在航空航天、航海运输和动力 机械等复杂系统振动问题。 1894 年邓克莱给出估算多圆盘轴
10、横向振动基频的简单实用方法 , 即邓克莱法，其忽略阻尼，主要用于计算基频的下限。 1898 年 Vianell 在计算压杆的屈曲载荷 时提出逐步近似方法， 1904 年斯托德拉将该方法推广用于计算轴杆的主频率,发展为振型迭代 法， 1950 年汤姆逊用矩阵重新表述该方法而形成传递矩阵法。 1873年瑞利基于动能和势能的 分析给出了确定系统基频的近似方法,即瑞利法，它和邓克莱法一起，常用来估算工程中常用 的一阶固有频率，瑞利法得到的基频略大于精确解。 1909 年里茨推广了瑞利法使之可同时求 几个低阶固有频率。对于现在工程普遍应用的有限单元法，其最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次
11、 应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解圣维南扭转问题。现代有限单 元法的第一个成功的尝试是在1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移 法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960 年， Clough 进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了有限单元法，使人们认识到它的 功效， 60 年以后有限元法以成为复杂工程振动问题近似计算的主要方法， 至今有限元理论 已发展非常成熟，基于其发展的有限元分析软件Ansys已成为人们解决复杂问题常用的工具。1909年里茨推广了瑞利法给出里茨法u1960年Clough首次提出有限单元法UJ图三 近似解法的发展简略图3结语科学的发展是一个由简单到复杂的过程，振动力学也不例外，从其发展史不难看出，振 动力学的发展也是按照从简单的单摆开始到稍微复杂一点的弦线再到更为复杂梁、膜、板壳 最后研究三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论等复杂理论。近似解法中不少重要的解 法便是对前人的总结和改进，我们要学会利用前人的研究成果大胆创新，不仅是知识的积累 还有思想的创新。知识、阅历和时间有限，不到之处还望谅解。
