斜拉桥非线性分析综述

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1、1 斜拉桥非线性分析的研究现状在结构分析领域，一直普遍存在着由结构几何变形、梁一柱效应 和材料塑性引起的结构力一变形非线性关系。Turner等人，在I960 年里发表的一篇论文里提出根据结构加载前已存在的应力建立刚度 矩阵和在几何非线性分析中使用线性化方法与增量法的概念。1966 年，Oden、Prazmieniecki提出了计算几何矩阵的方法。Turner、Oden 等人中公式推导中，位移函数采用了简化的表达式，其分析计算实质 上限制在大位移、小应变的范围内。从70年代初期，开始研究关于 大位移、大应变大结构，将固体力学的分析方法引用到结构几何非线 性有限元分析中，当位移与应变较大之后,通常

2、用到修正坐标的方法， 即所谓移动坐标法。大跨径斜拉桥是高次超静定结构，即使在正常荷 载作用下，往往发生较大位移，结构几何形状发生显著的变化，整个 结构由于有限变形而表现出明显的几何非线性行为。归纳起来，斜拉 桥的几何非线性来自三个方面：斜拉索的垂度效应；主梁、索塔中轴 力与弯矩相互作用而产生的梁一柱效应；大位移产生几何形状改变而 引起的非线性效应。斜拉索作为柔性构件，在自重和轴力作用下，呈 悬链线形状。其轴向刚度将随垂度的变化而变化，而斜拉索的垂度又 取决于索中的拉力，因此斜拉索拉力与变形之间存在明显的非线性关 系。对自锚固体系斜拉桥，斜拉索索力使主梁、桥塔等构件处于弯矩 和轴力的组合作用下，

3、桥塔和主梁变形过程中，由于横向挠度会使轴 力产生附加弯矩，而弯矩又影响轴向刚度的大小，从而影响结构变形， 由此产生所谓的梁一柱效应，使整个斜拉桥表现出非线性行为。大跨 度斜拉桥的另一特点是由于柔性较大而产生较大的位移，此有限位移 会使斜拉桥的几何形状产生较大的变化，从而使结构分析不能仅按未 变形的初始几何形状进行，而应当随着位移的变化逐步修正结构的几 何形状。此时，结构的几何刚度矩阵是几何变形的函数。因此平衡方 程F=K(5 =不再是线性关系，线弹性分析中的叠加原理也不再完 全适用。斜拉索垂度效应产生的非线性效应随着索自重即水平投影长 度增加而增加，随索中拉力减小而减小。1956年HJ.Ern

4、st提出用直 杆模拟斜拉索，用等效弹性模量来考虑斜拉索垂度的非线性效应，这 就是今天斜拉桥分析中广泛采用的Ernst公式。我国学者对斜拉桥的几何非线性也进行了广泛对理论分析与试 验研究。1982年周上君用等效弹性模量考虑斜拉索垂度，考虑结构 大位移效应，用小挠度全量平衡方程进行迭代计算。但他用小挠度平 衡方程计算斜拉桥大位移效应，未考虑主梁与桥塔大梁一柱效应。 1990年陈德伟引入稳定函数考虑梁单元的梁一柱效应，用Ernst公 式考虑拉索的垂度效应，用拖动坐标系考虑大位移影响，求解斜拉桥 的几何非线性问题。程国庆、潘家英等总结了斜拉桥几何非线性研究 等现状，对各种斜拉桥几何非线性分析方法作了评

5、述，指出:(1)等 效弹性模量法用直杆单元模拟整根斜拉索，给斜拉桥的分析带来了很 大的方便，但是当斜拉索两端节点位移相当大时，等效弹性模量法具 有一定的近似性；(2)处理梁一柱效应可采用几何刚度矩阵和稳定函 数法，其中稳定函数具有较高的精度，是处理梁柱非线性的经典方法。 如将稳定函数法表达的单元刚度矩阵展开，取其一阶近似即可得到几 何刚度矩阵；（3）目前已有的斜拉桥非线性计算理论可大致分为切线 模量表达的增量求解法和割线模量表达的全量求解法；理论框架可以 分为总体拉格朗日描述（T.L）和修正拉格朗日描述（U.L）。但是斜 拉桥非线性有限位移理论在有限元格式的建立过程中大都作了不同 程度的简化和

6、近似，因此，所得到的计算模型也不尽相同。从现有的 各种非线性计算方法存在的差异可以发现，大跨度斜拉桥的非线性计 算理论还有待进一步深入探讨，这大致可以归纳为以下三个方面： 1.斜拉桥各种非线性单元模式合理性及其精度的研究；2.斜拉桥几 何非线性描述参考构型及非线性求解方法的研究；3斜拉桥有限元 离散方法、结构模型化方法对几何非线性分析结果的影响研究。2几何非线性分析理论2.1斜拉桥的非线性问题随着斜拉桥的跨度增大，其斜拉索、主梁及桥塔都存在着几何非 线性的问题。特别是大跨度的斜拉桥，由于斜拉索较长，索自重产生 的垂度较大，索的伸长量与索内拉力不成正比关系。整个结构的几何 变形也大，大变形问题很

7、突出，加上弯矩和轴力的共同作用，使得大 跨度斜拉桥的几何非线性分析显得较为复杂。斜拉桥的非线性的影响因素概括为三个效应，即垂度效应、弯矩和轴向力组合效应和大变形效应。(1) 垂度效应：斜拉索自重垂度引起的拉索拉力与变形之间的非 线性关系；(2) 大变形效应：大位移产生的结构几何形状变化引起的几何非 线性效应；(3) 梁-柱效应：由于斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不仅承受弯 矩而且还将承受巨大的轴向力，在主梁和索塔变形过程中，由于轴向 力和弯矩相互影响，而产生所谓的梁-柱效应(P-A效应)，使整个斜 拉桥结构表现出几何非线性行为。2.2非线性问题计算方法2.2.1索的垂度效应在斜拉桥结构分析时，通

8、常用桁架单元来模拟斜拉索，由于斜拉索 实际内力和位移是非线性关系，由此带来了计算模型与实际结构间的 误差。本文采用Ernst公式修正索弹性模量，从而计入斜拉索在重力作 用下的垂度影响。换算弹性模量的Ernst公式为：eq(yScos a12c 3式中:Eeq为考虑垂度影响的拉索换算弹性模量,kPa；E 0为拉索弹性模量,kPa;丫为拉索换算容重,kN/m3;S为拉索长度,m;a为拉索与水平线的夹角;a为拉索应力,kPa。2.2.2柱效应和大位移效应。在斜拉桥成桥阶段，斜拉索的初始拉力使主梁和桥塔存在较大应 力，需要考虑单元初内力对单元刚度的影响。大位移对建立结构平衡 方程有较大的影响，需要考虑

9、大位移对单元刚度的影响。1、完全的拉格朗日列式法(T.L.Formulation)考虑弯矩与轴向力组合效应和大位移效应的非线性方程为：Gk + k + k )dg = k dg = df0LaT式中：k o与单元节点位移无关，为单元弹性刚度矩阵；0k o为单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵，是由大位移L引起的结构刚度变化，是d6的函数；k o为初应力刚度矩阵,它表示初应力对结构刚度的影响；ak o是3个刚度阵之和，称为单元切线刚度矩阵，它表示荷载增量T与位移增量之间的关系,也可理解为单元在特定应力、变形下的瞬时 刚度。2、修正的拉格朗日列式法(U.L.Formulation)在建立t+t时

10、刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量 步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列 式法（U.L列式）。增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：血就仏=d同从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析OT.L 列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题，而U.L列 式除了适用于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性徐变 分析，可以追踪变形过程的应力变化。目前，桥梁非线性分析一般都 采用U.L列式法。2.3斜拉桥几何非线性的分析方法2.3.1增量法增量法指荷载以增量的形式逐级加上去，在每个荷

11、载增量作用过 程中假设结构的刚度矩阵是不变的，在任一荷载增量区间内结点位移 和杆端力都是由区间起点处的结构刚度求出，然后利用得到的结点位 移和杆端力求出相对于增量区终点变形后位置上的结构刚度，作为下 一个荷载增量起点的结构刚度。在任一荷载增量i级作用下的平衡方 程为：kad二awttt式中各量为：荷载增量区间起点处得结构整体刚度矩阵；荷载增 量引起的结点位移变化量；结点荷载增量的大小。荷载增量法就是把荷载与位移之间的曲线关系用被划分足够小 的直线段来代替。因此，对于增量法而言，荷载增量的划分大小，直 接影响到结果的精度，如果荷载增量取得足够小，误差虽然是累积的， 但还是可以收敛到工程允许的范围

12、内。但是对于荷载增量的大小却不 易掌握。2.3.2迭代法迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，结点位移用结构变形 前的切线刚度求得，然后根据变形后的结构计算结构刚度，求得杆端 力。由于变形前后的结构刚度不同，产生结点不平衡荷载，为了满足 结点平衡，将这些不平衡荷载作为结点荷载作用于各结点上，计算出 相对于变形后的结点位移量，反复迭代过程，直至不平衡荷载小于允 许值为止。迭代过程中，如果刚度用的是前一步的切线刚度，则为切 线刚度法，即Newton-Raphson法，如果在迭代过程中用的是割线刚 度，则为割线刚度法。与增量法相比，迭代法可以控制精度，但迭代 法的位移、应力、应变是对应于总荷载的，不

13、能得到结构在加载过程 中各量变化的关系。2.3.3混合法采用增量法和迭代法综合运用的混合法可以加快收敛速度，对于 大跨度斜拉桥桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。混合法中 初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都以增量的形式施加，在每个荷 载增量后对结构刚度作一次调整。假如两次迭代。第一次迭代的作用 荷载为P，荷载增量为P/2,第一次迭代后的不平衡荷载为P-P，第 二次迭代的荷载增量为(P-P)/2。2.3.4带动坐标的混合法求解大位移效应引起的几何非线性问题，可用基于UL列式的 “拖动坐标系”对结构几何位置进行修正，即CR列式法。这种方法 在计算由节点位移量产生的单元内力增量时，可精确扣除单元的刚体 平动和转动，对杆系结构的几何非线性分析特别显示其优越性。3结语斜拉桥分析和一般杆系结构有限元分析方法不同，其非线性影响 突出。本文主要介绍了斜拉桥的材料几何非线性分析理论、索的垂度 非线性分析方法、结构大位移引起的非线性分析方法和梁柱效应引起 的非线性分析方法，同时介绍了几何非线性数值计算的四个方法：增 量法、迭代法、混合法和带动坐标的混合法。在斜拉桥分析计算中, 上述因素引起的非线性影响是比较突出的，对结构内力和线形产生较 大的影响，必须充分考虑其影响程度，才能准确把握斜拉桥结构的受力 状态。