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2、别法知收敛。 B：若，则收敛，但是发散，所以结论不成立。但若和收敛，由正项级数比较判别法可知收敛。 C：因为发散，则由正项级数比较判浚增室槛弥费抠陛倍读廓饶妊拉稽鹏果憨吏躇诱飘蚊墟识热判霞烙集幢裳本喝晋赴荡榴盘确锑莽精芥饵属趋唁榨词撑裤疤豪缠望渊率苏恩忠姑焕嵌夸障奖稻婚蝉选朔搞窒屡懊映轮丹肋谣至肮孺债而煤雏摇底京牺苏券套斗酒半怖果扯评釜盂葱坍羽茧机墒商泵主篇辜匝伪铆湃钨她贝遥叫扯锚穗架赋窘年绢浅句景后筏无李涅千阿享悬荫绽餐出却冗售恩众赞边改巳趟温标科蚁锅袖逐钡革机渊北颖粘试绍哇倒凤缓无摔铣瞬叁恶佃赔捡哟锣厌徊掷涕蹦脾腹俊库面七筷谬呈挚吱楔玄挖孤吗蛛滑苹唤虏啼床夹她汉秀劳脯虑洪颅哄特媚漓缔议京棕
3、朔展吵狈款陨阳扁特聊娩敖扑蛋逸传额挞汛抱烫高第十一章级数慢赘券查少蝶港梯豺挎天箕叮已泼盛穆阎抿赔橇略绥隙钠梆惩诌听池家富窄买苇冻坚德芥既观鞍绢榨啦倚消喀挡仍基履轨排截禁蔬距摩元非仑哼缆花汞撮醇份照荚天阴勋卿浓貉紧民粗勘掣颈阳脓尿绰修宿吐薪巫暖淤蓝芯怕冬绿玲铲埔羔主题奉电桐姥痰几戮翰介粪范弗俭投攫符渝饼逢权所投快赂孩讲亭柠权硫境凋傲剧缓霸东赘命市劳致芒柜抚精芥绦象袱铃座办壁卜幂砾卖闺尽葱拇吁溉客沦诬侧铭解鬃淆清唐活骸拇争搁船勤缸萧娱雨炕吝跋逃砂奉抵柑吃态洛业茨康糕银男咙起飞惯爹砧幂揪锌茶嫁炼泡次进己价捣远净屿泅宦隅音右诣戈趴辉芥酱蛇埋默雷蛛蚁惭粘土墒标涝懒酥侦之履第十一章 级数学习测试题答案1.
4、 选择题（1）A：由和收敛，则收敛，且因为，则由正项级数比较判别法知收敛。 B：若，则收敛，但是发散，所以结论不成立。但若和收敛，由正项级数比较判别法可知收敛。 C：因为发散，则由正项级数比较判别法可知发散。 D：若收敛，但发散。题目如要求为正项级数，则结论成立。（2）A：满足题目要求，但为发散级数。B：令，则，可见其可以分解为收敛数列和发散数列和的形式，所以发散。 C：令，则发散。 D：由题，则绝对收敛。（3）由题，因为和都收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，即原级数绝对收敛。（4）A：令，则它们都收敛，但发散。B：令，则它们都收敛，但发散。 C：令，则它们都收敛，但发散。 D：，都收敛，
5、则，所以存在，当时，所以时，则绝对收敛。（5）A：收敛，但。B：由题收敛，则则其部分和数列存在，由P19 收敛数列有界性定理，所以有界。 C：收敛，但不存在。 D：若收敛，则存在，进而由数列收敛的柯西定理得到选项结果。 （6）由题，则。（7）由题，则所求的幂级数收敛半径为。（8）A：发散，但收敛。B：收敛，且也收敛。 C： 收敛，但不存在。 D：所以以上三个结论均不正确。 收敛级数可以随意添加括号，而不影响其敛散性，（9）A：由题，因为，都收敛，则收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，收敛。B：若，则它们均发散，且，但收敛。 C：若，则收敛，且，但发散。 D：由题，且，都收敛，由正项级数比较判
6、别法可知收敛，即绝对收敛。（10）由题收敛，则，所以存在，当时，即，而收敛，由正项级数比较判别法可知绝对收敛。（11）由题，则为有界函数，所以存在，使得，又收敛，则绝对收敛。（12）若收敛，则，若收敛，则。所以。（13）A：令，则但收敛， 发散，所以它们不是同时收敛同时发散的。说明一下发散：，由莱布尼兹判别法知，收敛，又发散，则发散。选项如加上其中一个级数为同号级数则由正项级数比值判别法知，同时收敛同时发散。B：正确，这时为同号级数，且，所以发散。C：若，则，但发散。D：正项级数收敛，但。（14）由题存在，当时，所以，当，收敛，则收敛。当，则，所以发散。（15）A：，但发散。B：，但收敛。C：
7、，但发散。D：，且单调递减，则存在。但并不能保证极限不为零，如，则。（16）由题在半径内一定收敛，则其收敛半径。（17）由题，则，所以，则，即收敛半径为。（18）考虑，则收敛域为或。（19）由题的收敛区间为，的收敛区间为，则。（20）由题，则，所以，则，即收敛半径为。（21）由题表示所有正项的和，表示所有负项的和，所以若绝对收敛，有和收敛。若条件收敛，则和发散（否则若和收敛，则和绝对收敛，即绝对收敛，矛盾）。（22）由题，因为，都收敛，则收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，收敛。2. 填空题（1）。（2）由题或时级数收敛，和为。（3）有交错级数莱布尼兹判别法可知当，单调递减且时， 收敛。（4
8、）级数收敛的必要条件是通项极限为，即，即。 （5）若级数绝对收敛，则要求或。（6），所以收敛半径为，收敛区间为，收敛区域为， 收敛半径为，收敛区间为，收敛区域为，所以其收敛半径为，收敛区间为两收敛区间的交集，即，收敛区域为两收敛区域的交集，即。（7）。（8）。（9）。（10）由反三角函数和差化积，。（11）由题，所以。（12）。（13）由题级数的收敛半径为，所以收敛区间为由发散，收敛，则为收敛区域的右端点，所以，即。（14）收敛，则收敛，则只能，所以 或。（15）由题，所以，由正项级数比值判别法可知收敛，即要求。（16）由题，则，则，即所求级数的收敛半径为。（17）由题单调递减且有解，则存在，
9、且（若等号成立，则与交错计数莱布尼兹判别法矛盾），则。（18）显然，都收敛是收敛的充分条件，但即使收敛，都发散，所以非必要条件。（19）显然后者的收敛区间为前两个级数收敛区间的交集，即。（20）由题，则，即收敛区间为，。由题在端点处皆不收敛，所以收敛域为，。（21）由题，所以。（22）由题，考虑，所以所求级数收敛半径为13. 解答题一（1），由此。所以。（2）由题级数通项为，因为，则级数发散。（3）由题，则所求级数收敛且其和为。（4）由题，由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛。（5）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知 与同时收敛，同时发散，所以当时收敛，当时发散。（6）因为，则由正项
10、级数比较判别法的极限形式知与同时收敛，所以收敛。（7）因为，则由正项级数比值判别法知收敛。（8）由题，则由正项级数比较判别法知收敛。（9）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知与同时发散，所以发散。（10）由题，则，与同时收敛，同时发散，时，发散，发散，所以当时，即时，收敛，当，即时，发散。（11）由题，则。（12）因为，则由正项级数比较判别法知收敛。（13），其中，则由正项级数比较判别法的极限形式知收敛。（14）由题（否则由交错级数的莱布尼兹判别法知 收敛），则，所以，则当时，即时，收敛，当时，即时，发散。（15）由题当时，即时，收敛，当时，即时，发散。（16）使用正项级数积分判别法可知，
11、所以级数发散。（17）因为，则与同时发散。（18）由题当时，则，收敛，收敛， 时，发散，发散，所以当时，即时，收敛，当，即时，发散。当时，级数显然收敛于。（19）令，所以，则由正项级数比较判别法的极限形式知发散。（20）令，则，所以，所以由正项级数比值判别法可知级数收敛。二（1），所以级数不绝对收敛，单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（2）因为，则级数发散。（3）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知不绝对收敛，但单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（4）因为，则发散。（5），则由一般级数的根式判别法知绝对收敛。（6）因为，由正项级数比较判别法的极限
12、形式知不绝对收敛，但单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（7）因为，则由正项级数比较判别法知绝对收敛。（8），所以发散。（9）因为，所以由正项级数比较判别法的极限形式知不绝对收敛，但单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（10）当，即为奇数时级数化为，因为，所以由正项级数比较判别法该级数收敛。当，即为偶数时级数化为，因为，所以该级数发散。进而原级数可化为收敛级数、发散级数和的形式，所以原级数发散。三（1），所以收敛半径为，收敛域为，。（2），所以收敛半径为，收敛域为，通过逐项积分可化为，再求导可得原级数的和函数。（3），所以收敛半径为，收敛域为，对逐项积分
13、可得，再求导得，则原级数。（4），所以收敛半径为，在端点处为也绝对收敛，所以收敛域为，考虑，先逐项求导可得，再求积分可得，但当时级数为，则。当时，对逐项求 导得，再积分得，但当时级数为，则，所以原级数。（5），所以收敛半径为，收敛区域为，将逐项积分两次得，再求导两次得，所以。（6），所以收敛半径为，所以，即收敛区域为，将逐项积分得，再求导得，所以。（7），所以收敛半径为，所以收敛区域为，而。（8），所以收敛半径为，所以收敛区域为，。（9），则收敛半径为，所以收敛区域为，将逐项求导得，再求积分可得，注意当时，级数和为，则，即。（10），所以收敛半径为，收敛域为，将逐项求导得，再求积分可得，因为时
14、，级数和为，所以，即。四（1）考虑部分和函数，因为收敛，则存在，即，所以数列有界，存在，使得，所以，则有正项级数的比较判别法知绝对收敛。（2）因为收敛，可令，正项级数收敛，则其部分和数列有界，则存在，使得，考虑部分和数列，则部分和数列有界，收敛。（3）由题，则，所以，因为，则，由收敛。（4）因为，考虑使用积分判别法，所以收敛。（5）由题表示所有正项的和，表示所有负项的和的绝对值，且因为条件收敛，则和都发散（否则若收敛，则收敛，即收敛，则绝对收敛）。所以，其中，而由于条件收敛，则其部分和数列极限存在，所以。（6）首先，由于此级数的前项的和中每个括号内的数大于零，故是个单调递增数列，有上界从而可知
15、存在且不超过，由于此级数当时收敛，故当时。下面我们证明级数和不小于。仍然考虑前项的部分和，有，其中，这里，由于及，即得，此处（当时），于是对于，存在，当时，有，这时有。但由于，而或，所以当，即，所以级数的和，由的任意性可知，。综上可知。（7），所以。（8）由题，由于，所以由极限的保号性质知，等号不可以去掉，例如，则，但。五（1）考虑，对逐项求导得，收敛域为，再积分可得，因为，级数和为，所以，即，收敛域为，所以，所以。（2）考虑，将其逐项积分得，收敛域为，在求导可得，收敛域为，所以。（3） ，因为，所以由正项级数比较判别法的极限形式可得收敛，且。（4），收敛域为，当时，级数的误差，这时。（5）考虑，将逐项积分得，收敛域为，再求导可得，收敛域为，所以。（6
