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1、解答题专项三数列中的综合问题解答题专项三数列中的综合问题第六章第六章考情分析:数列是高考考查的重点内容,在近几年的高考试卷中,数列解答题的命题趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,以考查数列的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,一般放在解答题的前两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.考点一考点一等差数列与等比数列的基本等差数列与等比数列的基本问题例题(2022新高考,17)已知an为等差数列,bn为公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(2)求集合k|bk=am+a1,1m500中元素的个数.(1)
2、证明设等差数列的公差为d,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,得d=2b1.由a2-b2=b4-a4,可得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),可得a1+2b1-2b1=8b1-(a1+6b1),整理可得a1=b1,得证.(2)解由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b12k-1=a1+(m-1)d+a1,即b12k-1=b1+(m-1)2b1+b1,得2k-1=2m.1m500,22k-11 000.2k10.又kZ,故集合k|bk=am+a1,1m500中元素的个数为9.引申探究(变条件变结论)若本例条件不变,将(2)改为:“若a1=4,求
3、集合bk|bk=am+a1,1m500中所有元素的和”,再解决问题.解由本例(2)的解答可知,集合bk|bk=am+a1,1m500中的元素共有9个,即b2,b3,b10,由于a1=4,所以b1=4,规律方法规律方法 解决等差数列与等比数列基本问题的技巧(1)合理地设出基本量,将已知条件转化为等差数列与等比数列的基本量之间的关系,运用方程思想以及通项公式、前n项和公式进行求解.(2)注意合理运用数列的相关性质以及整体思想,简化运算过程,注意数列中“项数为正整数”等隐含条件.对点训练(2021新高考,17)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列an
4、的通项公式;(2)求使Snan成立的n的最小值.(2)由(1)知an=2n-6,nN*,a1=-4,要使Snan,则n2-5n2n-6,即n2-7n+60,(n-1)(n-6)0解得n6.nN*,n的最小值为7.考点二考点二数列中的通数列中的通项与求和与求和问题规律方法规律方法 解决数列中的通项与求和问题的注意点(1)利用an=Sn-Sn-1解决问题时,注意其成立的前提条件是n2,对n=1时的情形要单独分析.(2)根据递推关系式求数列通项公式时,注意累加法、累乘法的运用,若已知an-an-1=f(n),可用累加法;若已知 =f(n),可用累乘法.(3)数列求和的关键在于对数列通项公式的分析,然
5、后根据通项公式的形式及类型确定相应的求和的方法.对点训练(10分)(2021新高考,17)已知数列an满足a1=1,(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列bn的通项公式;(2)求an的前20项和.考点三考点三数列中的数列中的综合合问题(多考向探究多考向探究预测)考向1数列中的存在性问题(1)求an的通项公式.(2)已知an的前n项和为Sn,试问是否存在正整数p,q,r,使得Sn=p-qan+r?若存在,求p,q,r的值;若不存在,说明理由.对照Sn=p-qan+r可得p=3,q=4,r=2,所以存在正整数p,q,r,使得Sn=p-qan+r,且p=3,q=4,r=2.规律方法规律方法
6、解决数列中存在性问题的策略数列中的存在性问题,通常是先假设符合条件的元素(数列、项、参数等)存在,然后根据符合的条件,采取以下几种方法进行求解:(1)由特殊到一般,对项数n取特殊值,建立关于参数的方程组进行求解,若有解,则说明符合条件的元素存在;若无解,则说明符合条件的元素不存在.(2)对条件中的代数式进行整理转化,根据条件对照系数,分析判断符合条件的元素是否存在.对点训练(2022河北衡水高三三模)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=3,an=xan-1+n-2(n2),其中xR.(1)若x=1,求出an.(2)是否存在实数x,y,使an+yn为等比数列?若存在,求出Sn;若不存在,说
7、明理由.假设存在实数x,y满足题意.设an+yn的公比为q(q0),则当n2时,an+yn=qan-1+y(n-1),即an=qan-1+(qy-y)n-qy,所以a1+y=3+1=4,故存在x=2,y=1使得an+yn是首项为4,公比为2的等比数列.考向2数列中的不等式恒成立问题 解(1)因为a1,an,Sn为等差数列,所以2an=a1+Sn.因此有2an+1=a1+Sn+1,两式相减得2an+1-2an=Sn+1-Sn,即an+1=2an,所以an是以2为公比的等比数列.规律方法规律方法 数列中不等式恒成立问题的求解策略(1)分离参数法:对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题,优先考虑分
8、离参数,再转化为最值问题处理;(2)单调性法:对于与数列单调性有关的不等式恒成立问题,可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式,再求参数范围;(3)最值(有界性)法:对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题,一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界),进而求出参数范围.对点训练(2023山东潍坊高三模拟预测)已知an和bn均为等差数列,a1=b1=1,a3=a1+a2,b5=b4+a2,记cn=maxb1-na1,b2-na2,bn-nan(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xn表示x1,x2,xn这n个数中最大的数.(1)计算c1,c2,c3,猜想数列c
9、n的通项公式并证明;解(1)设等差数列an和bn的公差分别为d1,d2,那么,c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2,猜想cn的通项公式为cn=1-n.证明如下:令kN*,则当n3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0,所以数列bk-nak是递减数列,所以cn=maxb1-na1,b2-na2,bn-nan=b1-na1=1-n.又当n=1,2时,cn也符合上式,所以cn=1-n.
