《适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布超几何分布正态分布课件北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布超几何分布正态分布课件北师大版（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节二项分布、超几何分布、正态分布第七节二项分布、超几何分布、正态分布第十一章第十一章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.理解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.3.理解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,理解正态分布的特征.4.理解正态分布的均值、方差及其含义.强基础强基础 固本增分固本增分1.n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验.在研究随机现象时,经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律.一般地,
2、在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.实验原型是有放回的抽样检验问题(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n).若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为XB(n,p).(3)两点分布与二项分布的均值、方差一般地,若随机变量XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).微
3、点微点拨 判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;(2)试验可以独立重复进行n次.微思微思考考 两点分布(01分布)和二项分布有什么关系?提示 两点分布是一种特殊的二项分布,即是n=1的二项分布;二项分布可以看作两点分布的一般形式.2.超几何分布一般地,设有N件产品,其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k),max0,n-(N-M)kminn,M.其中nN,MN,n,M,NN+.公式中的k可以取的最小值为max0,n-(N-M),而不一定是0.若一个随机
4、变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布.微点拨微点拨 超几何分布与二项分布的关系 不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即XB(n,p)(其中p=);若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似3.正态分布(1)正态曲线为参数,这一类随机变量X的分布密度
5、(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布,对应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线.正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布,是刻画误差分布的重要模型,因此也称为误差模型.特别地,当=0,=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)正态曲线特点曲线在x轴的上方,与x轴不相交.曲线是单峰的,关于直线x=对称.曲线的最高点位于x=处.当x时,曲线下降;并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线(如图).当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移.当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.(3)正
6、态分布的定义及表示如图,正态分布随机变量X在区间(-,+(0)上取值的概率为阴影部分的面积.特别地,P(-X+)0.682 6,P(-2X+2)0.954 4,P(-3X+3)0.997 4.因此,随机变量X在区间(-,+,(-2,+2,(-3,+3上取值的概率分别约为68.3%,95.4%,99.7%.微点微点拨 1.若X服从正态分布,即XN(,2),要充分利用正态曲线的关于直线x=对称和曲线与x轴之间的面积为1.2.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3,+3中的值,这在统计学中称为3原则.微思考微思考 正态分布函数中的,的含义是什么?提示 若XN(,2),则
7、EX=,DX=2.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中a=p,b=1-p.()2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.()3.正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差.()题组二双基自测4.一批产品共100件,其中有3件不合格品,从中任取5件,则恰有1件不合格品的概率是()答案A 5.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点出发.每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6次,则质点回到原点位置的概率为,质
8、点位置与原点的距离不大于2的概率为.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一二二项分布及其分布及其应用用例题(2022北京海淀一模)黄帝内经中十二时辰养生法认为:子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明,入睡时间越晚,沉睡时间越少,睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据,对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表:组别睡眠指数早睡人群占比晩睡人群占比10,51)0.1%9.2%251,66)11.1%47.4%366,76)34.6%31.6%476,90)48.6%11.8%590,1005.6%0.0%注:早睡人群为23:00前入睡的人群,晚睡人群为01:00后
9、入睡的人群.(1)根据表中数据,估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组?(2)据统计,睡眠指数得分在区间76,90)内的人群中,早睡人群约占80%.从睡眠指数得分在区间76,90)内的人群中随机抽取3人,以X表示这3人中属于早睡人群的人数,求X的分布列与数学期望E(X).(3)根据表中数据,有人认为,早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间76,90)内.试判断这种说法是否正确,并说明理由.解(1)早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组,晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.(3)这种说法不正确,理由如下:抽样数据可以反映整体数据,但不是完全代表整体,故早
10、睡人群睡眠指数的平均值并不一定落在76,90)范围内.规律方法规律方法 二项分布的解题策略(1)若小李下班后选择路线1驾车回家,求至少遇到一个红灯的概率.(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1 min,为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间(单位:min)的期望最小,小李应选择哪条路线?请说明理由.考点二考点二超几何分布及其超几何分布及其应用用例题(2023广西河池模拟)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”,为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了1 000名高一学生进行在线调查,得到了这1 000名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据
11、分成0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12,(12,14,(14,16,(16,18九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值:(2)为进一步了解这1 000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读时间在(8,10,(10,12两组内的学生中,采用分层随机抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间在(10,12内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图得,2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.规律方法规律方法 求超
12、几何分布的分布列的步骤 对点训练(2023四川南充高三检测)近年来,某市为促进生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾,总计400吨,数据统计如下表(单位:吨).类别厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率p;(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元,处理1吨非厨余垃圾需要8元,请估计处理这400吨垃圾所需要的费用;(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名女性志愿者,3名男性志愿者,现从这
13、10名志愿者中随机选取3名,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同).设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.解(1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100吨,其中投入厨余垃圾桶的有60吨,所以可估计厨余垃圾投放正确的概率(2)由题表可得这400吨垃圾有100吨厨余垃圾,300吨非厨余垃圾,则处理费用为5100+8300=2 900(元).所以估计处理这400吨垃圾需要2 900元.考点三考点三正正态分布及其分布及其应用用(多考向探究多考向探究预测)考向1正态分布的概率计算题组(1)(2022山东德州二模)设随机变量X服从正
14、态分布N(1,2),若P(X2-a)=0.3,则P(2-aXa)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6(2)(2022新高考,13)随机变量X服从正态分布N(2,2),若P(22.5)=.(3)(2022山东德州三模)已知某种袋装食品每袋质量XN(500,16),则随机抽取10 000袋这种食品,袋装质量在区间(492,504的约袋(质量单位:g).(附:XN(,2),则P(-X+)0.682 6,P(-2X+2)0.954 4,P(-3X+3)0.997 4)答案(1)C(2)0.14(3)8 186解析(1)因为2-a,x=a关于x=1对称,故P(2-aXa)=2P(2-aX1)=
15、20.5-P(X2)=0.5,故P(X2.5)=P(X2)-P(2X2.5)=0.14.(3)由题意得P(500-4X500+4)0.682 6,P(500-8X500+8)0.954 4,故P(492X504)0.135 9+0.682 6=0.818 5,则袋装质量在区间(492,504的约有10 0000.818 5=8 185袋.规律方法规律方法 正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于
16、(-,+,(-2,+2,(-3,+3中的哪一个.考向2正态分布的实际应用例题(2022山东青岛二模)为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的值.养殖场将某周的5 000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理,绘成如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这5 000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数);(2)通过长期调查分析可知,该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632).()若其中一个养殖棚有1 000只家禽,估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数);()在统计学中,把发生概率小于1%的事件称为小概率事件,通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外,每天还会随机抽检20只,若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常,并分析说明理由.参考数据:0.022 830.000 01,0.977 2170.7;若XN(,2),则P(-X+)0.682 6;P(-2X+2)0.954 4.解(1)由2(0.02+
