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1、第三节等比数列第三节等比数列第六章第六章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.强基础强基础 固本增分固本增分1.等比数列的概念(2)等比中项:如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,且有G2=ab.微点拨微点拨 1.等比数列的任意一项都不能为零,公比不能为零.这是数列是否为等比数列的一个重要前提2.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中
2、项,即an+1an-1=(nN*,n2).3.并非任何两个实数都有等比中项,只有同号的两个实数才有等比中项,且等比中项一定有两个,它们互为相反数.微点拨微点拨 在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1(a10,q0);(2)前n项和公式:3.等比数列的性质(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*).(2)若数列an为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,qN*).特别地,若m+n=2t,则aman=(m,n,tN*).(3)若数列an是等
3、比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公比为qm的等比数列.(4)若等比数列an的前n项和为Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),特别地,如果公比q-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列(5)当等比数列an的项数为偶数时,偶数项和与奇数项和之比等于公比q,4.若数列an的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k0,k1),则数列an必为等比数列.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.常数列既是等差数列又是
4、等比数列.()2.在等比数列an中,a2与a6的等比中项为a4.()3.在等比数列an中,若aman=apaq,则m+n=p+q.()4.若等比数列an的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.()题组二双基自测 6.如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少?研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算题组(1)(2023湖北武汉高三月考)设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2,则a2=()A.4B.3C.2D.1(2)(多选)(202
5、3湖南郴州高三月考)在公比q为整数的等比数列an中,Sn是其前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列Sn+2是等比数列C.S8=510D.数列lg an是公差为2的等差数列答案(1)A(2)ABC 规律方法规律方法 解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目
6、中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q1两种情况进行讨论.考点二考点二等比数列的判断与等比数列的判断与证明明例题(2023安徽安庆高三月考)已知数列an和bn满足:a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中nN*,为实数.(1)对于任意实数,证明:数列an不是等比数列;(2)试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论.规律方法规律方法 对点训练(2023江西赣州高三月考)已知数列an满足an+1+an=2n,且a1=1,bn=an-2n.(1)求证:数列bn是等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.考点三考点三等比数列的性等比数列的性质
7、及及综合合应用用(多考向探究多考向探究预测)考向1等比数列的性质题组(1)(2023江西南昌高三期中)已知数列an是公比不等于1的等比数列,若数列an,(-1)nan,的前2 023项的和分别为m,8-m,20,则实数m的值()A.只有1个B.有2个C.无法确定D.不存在(2)(2021全国甲,文9)记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=()A.7B.8C.9D.10答案(1)B(2)A(2)(方法1)设等比数列的公比为q,由题意知q-1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),S2=4,S4=6,(6-4
8、)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.引申探究1(变条件变结论)在本题组(2)中,若将条件改为“记Sn为等比数列an的前n项和,若S2=4,S6=7”,则S4的值等于.答案6解析设等比数列an的公比为q,由题意知q-1,则由等比数列的性质知,S2,S4-S2,S6-S4构成公比为q2的等比数列,因此(S4-4)2=4(7-S4),解得S4=6或S4=-2.当S4=-2时,数列S2,S4-S2,S6-S4即为4,-6,9,其公比为q2=-,不合题意,舍去;经检验S4=6符合题意,故S4=6.引申探究2(变条件)在本题组(2)中,若条件改为“记Sn为等比数列an的前n项和,若S3=4,S9=
9、7”,则S6的值等于.答案6或-2解析设等比数列an的公比为q,由题意知q-1,则由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6构成公比为q3的等比数列,因此(S6-4)2=4(7-S6),解得S6=6或S6=-2.当S6=6或S6=-2时,数列S3,S6-S3,S9-S6即为4,2,1或4,-6,9,其公比为q3=或q3=-,均符合题意,故S6的值等于6或-2.规律方法规律方法 等比数列性质应用易错警示(1)在等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同,在运用等比数列性质求某一项的值时,注意根据这一性质进行判断取舍;(2)公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-S
10、n,S3n-S2n,也构成等比数列,且公比为qn,若n为偶数,则等比数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,的公比qn0,注意根据这一隐含条件对所得结果进行分析判断并取舍.考向2等比数列与等差数列的综合问题例题(2023湖南长沙高三月考)已知集合A=x|x=2k1,k1N*,B=x|x=,k2N*,将AB中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列an,设数列an的前n项和为Sn,若am=27,则m的值等于,S50的值为.答案162 282解析因为am=27,所以an的前m项中含有A中的元素为2,4,6,26,共有13项,含有B中的元素为3,9,27,共有3项,所以m=16.因为250=100,34=81100,所以an的前50项中含有B中的元素为3,9,27,81共有4项,含有A中的元素为21,22,23,246,共有46项,所以S50=(3+9+27+81)+(21+22+23+246)=2 282.规律方法规律方法 解决等差数列与等比数列综合问题的技巧(1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时,应根据两种数列的通项公式,对公共项用两种形式表示,从而建立基本量之间的关系进行求解.(2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化,对正项等比数列取对数可得到等差数列,以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列.
