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1、第三章 光学谐振腔理论一、 学习要求与重点难点学习要求1 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。4 理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。5 掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。6 了解非稳腔的模式理论。重点1 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2 传播矩阵分析方法；3 光学谐振腔的稳定条件；4 模自再现概念；5 自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法
2、，及其解；7 谐振腔的横纵模式和光束特性；8 稳定谐振腔的等价共焦腔。难点1 传播矩阵的近似；2 非稳腔；3 模自再现概念；4 自再现模积分本征方程的建立5 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；6 谐振腔的横纵模式和光束特性；二、知识点总结 1 谐振腔衍射积分方程推导三、典型问题的分析思路1纵模间隔问题根据纵模频率间隔的公式计算，问题还可以变为腔长如何选择，可获得单纵模输出等。2分析某一谐振腔的稳定性问题这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面的稳定腔判据公式：第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写出这个谐振腔的传输
3、矩阵。利用下面的稳定判据公式：分析谐振腔各参数所应满足的条件。第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近(傍)轴光线。而对于环形腔和折叠腔（非共轴球面腔），由于象散，球面镜在子午面和弧矢面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，垂直于子午面的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，。对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，为光轴与球面镜法线的夹角。3谐振腔损耗问题光学谐振腔积分方程的特征值，它的实部决定腔损耗，特征值的虚部决定光波的单程相移。将特征值代入中得
4、：。即表示腔内经单程度越后自再现模的振幅衰减。即的实部决定腔损耗，表示每经一次度越的相位滞后，所以的虚部决定的单程相移。单程损耗:单程相移:共焦腔模的谐振条件4共焦腔问题例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径。只要求得了镜面上基模光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为。 方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。基模场振幅分布基模光斑尺寸镜面上基模的光斑半径，高斯光束的基模
5、的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。腰斑尺寸： 镜面上光斑尺寸： 共焦腔基模体积： 高阶模体积: (模阶次愈高模体积愈大)等相位面（共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径：等相位面与共焦腔镜面重合。等相位面为平面 (共焦腔基模光束)远场发散角：弧度5一般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的特性而解析的表达出来，此处可参考教科书。6非稳定谐振腔问题关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点和的位置；计算非稳腔的能量损耗率、几何放大率等。共轭像点和的位置分别为，由球面镜成像公式解得：几何放大率镜的单程放大率镜的单程放大率非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率对望远镜非稳定腔（实共焦腔和
6、虚共焦腔）平均单程能量损耗往返能量损耗四、思考题1. 光学谐振腔的作用是什么？2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？3. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？4. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5. 光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为因素，为什么？6. 光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？7. 所谓“自洽”在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的？8. 谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？9. 共焦腔是什么腔？稳定性如何？10
7、. 共焦腔是不是稳定腔？为什么？11. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？12. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。13. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？14. 非稳腔的优点是什么？15. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？16. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？17. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？ 18. Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？19. 分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别，为什么？20. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的实部决定腔损耗？21. 为什么说光学谐
8、振腔积分方程的特征值的虚部决定光波的单程相移？22. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/2，它与单程衍射损耗因子之间有何关系？23. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？24. 为什么说对称共焦腔非常重要？25. 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表示。26. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？27. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？28. 若A激光器的激光束经透镜变换匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入A激光器，为什么？29. 能否得到稳定谐振腔横模的解析表示，为什么？四、练习题1. 出1、2、3光线的传输矩阵
9、。图2.12. 试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数。图2.23. 试解如图2.3两个He-Ne激光器的匹配问题。图2.34. 若法卜里珀罗平面干涉仪的腔长为4.5，它的自由谱宽为多少，能否分辨，的激光谱线？5. ，的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？6. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两个反射镜外的其余部分的变换矩阵为，腔镜曲率半径为、，证明：稳定性条件为，其中；。7. 平凹腔中靠近平面镜的半空间内充有类透镜介质，假设，使用上题（6题）的结果，讨论该腔的稳定性问题。8. 使用6题结果，求图2.5所示的谐振腔的稳定性条件（不考虑像散）。图2.49. 考虑图2.5所示的非稳定谐振腔，反射
10、镜的反射率，的反射率（1）试求出共轭像点和的位置，并在光学谐振腔图上把他们标出；（2）试画出光学谐振腔内的场变化，指出来自光束限制器的波阵面。（3）通过空腔的单程平均损耗为多少？（4）这个激光器所需要的增益是多少？图2.510. 设激活介质的横向尺寸为，虚共焦非稳定腔镜面半径为（凹面镜）和（凸面镜），而单程放大率为和当（1）；（2）；（3）；（4）；时，适用作图法从激光束的输出方向，是否充分利用激活介质，输出光束是否均匀等方面进行讨论。11试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔镜的稳定性条件。13.
11、 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。14. 图2.1所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（2.2.7）中的，对于在于此垂直的平面内传输的弧矢光线，为光轴与球面镜法线的夹角。平面镜 图2.115. 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30cm，方形孔边长d=2a=0.12cm，=632.8nm，镜的反射率为，其它损耗以每程0.003估计。此激光器能
12、否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图4.5.4作一大略的估计。氦氖增益由公式估算（l为放电管长度）。16. 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？17. 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。18. 今有一球面腔，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。19. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm，。试计算、各为多少。20. 试证明，在所有相同而R不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。L表示腔长，为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线
13、度（半径）。21. 今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平-凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。22. 推导出平-凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式，做出：（1）当R=100cm时，、随L而变化的曲线；（2）当L=100cm时，、随R而变化的曲线。六、部分答案1. 光学谐振腔的作用是什么？解答：谐振腔的作用是提供正反馈，使激活介质中产生的辐射能多次通过介质，当受激辐射所提供的增益超过损耗时，在腔内得到放大，建立并维持自激振荡。它的另一个重要作用是控制腔内振荡光束的特性，使腔内建立的振荡被限制在腔所决定的少数本征模式中，从而提高单个模式内的光子数量，
14、获得单色性好，方向性好的强相干光。2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？解答：（1）激活介质：用于补偿腔内电磁场在振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条件。（2）两个镀有高反射率膜的反射镜：使得激活介质中产生的辐射能多次通过介质获得增益，同时控制光束的输出。3. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？解答：光学谐振腔常用研究方法可归结为：近轴光线处理方法的几何光学理论和波动光学的衍射理论。4. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解答：电磁场理论表明，在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每种本征状态将具有一定的振荡频率和
15、空间分布。通常谐振腔内可能存在的电磁场本征态称为腔的模式。平行平面腔中，满足沿轴线方向形成的驻波场称为它的本征模。通常由整数q所表征的腔内纵向的稳定分布称为纵模。它在腔的模截面内是分布均匀的场。不同的纵模相应于不同的q值，对应不同的频率。除了纵向外，腔内电磁场在传播方向的横向也存在稳定的场分布称为横模，不同的横模对应于不同的横向稳定的光场分布和频率。5. 光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为因素，为什么？解答：是人为因素。因为光学谐振腔横模光斑的分布是随着人为的选择反射镜的形状而发生相应得变化。6. 光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？解答：稳定条件是。有例外，临界腔就是例外。稳定条件的导出依据是：若激光束在腔内多次反射后不会逸出腔外，即没有几何偏折损失。7. 所谓“自洽”在光学
