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1、素能培优素能培优(十十)解析几何减少运算量的常用技巧解析几何减少运算量的常用技巧第九章第九章很多同学厌烦解析几何题目,是因为运算量过大.尤其在考试过程中,要想在规定时间内,保质保量地完成解题,计算能力是一个重要的因素.下面介绍四种减少计算量的技巧.技巧一灵活运用定义例1(2022河北张家口三模)已知椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,AB是椭圆过点F1的弦,点A关于原点O的对称点为A1,A1F1AB,且|A1F1|=3|BF1|,则椭圆的离心率为.解析连接BF2,A1F2,AF2,设|BF1|=m(m0).因为|A1O|=|AO|,|OF1|=|OF2|,所以四边形F1A1F2A为平
2、行四边形.而A1F1AB,故四边形F1A1F2A为矩形,故AF2AB.又|A1F1|=|AF2|=3m,由椭圆的定义可得|A1F2|=|AF1|=2a-3m,|BF2|=2a-m,所以|AB|2+|AF2|2=|BF2|2,即(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2,可得a=3m,所以A1是短轴的端点,所以b=c,e=.规律方法规律方法 解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,灵活运用定义,这样往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.技巧二设而不求,整体代换 A.3x+y+7=0B.4x+y+6=0C.x+y+5=0D.2x+y+3=0答案D 规律方法规律方法 运用“设而
3、不求”方法的两点技巧 技巧三巧用“根与系数的关系”,化繁为简例3设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点P(0,4)的动直线l与抛物线C交于A,B两点,当点F在l上时,直线l的斜率为-2.(1)求抛物线的方程;规律方法规律方法 在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系,这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四巧妙“换元”减少运算量(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求OMN面积的最大值.规律方法规律方法 圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.
