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1、第六节双曲线第六节双曲线第九章第九章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.通过双曲线的实际背景理解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.掌握双曲线的简单应用.强基础强基础 固本增分固本增分1.双曲线的定义平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距.数学表达式:P=M|MF1|-|MF2
2、|=2a,02a|F1F2|微点拨微点拨 1.要注意定义中的“绝对值”,若没有绝对值,当|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F2的双曲线的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a(02a|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程 微点拨微点拨 在双曲线的标准方程中,看x2与y2的系数的正负,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.3.双曲线的几何性质 常用结论2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1
3、|min=c+a,|PF2|min=c-a,双曲线的焦点在y轴上时也成立.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为 ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.4.设P是双曲线上异于顶点的任一点,F1,F2为其焦点,记F1PF2=,则 5.等轴双曲线(1)定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.(2)性质:a=b;e=;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.6.共轭双曲线(1)定义:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.(2)性质:它们有共同的渐
4、近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平方和等于1.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()2.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()题组二双基自测5.(2022山东淄博一模)双曲线 的离心率为()答案C 7.已知直线l1:5x+3y=0和l2:5x-3y=0.(1)写出两个以直线l1和l2为渐近线的双曲线的标准方程;(2)如果以直线l1和l2为渐近线的双曲线经过点M(1,3),求双曲线的标准方程.研考点研考点 精准突破
5、精准突破考点一考点一双曲双曲线的定的定义及其及其应用用题组(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=.解析(1)如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点.又O为F1F2的中点,|MF2|=2.点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF
6、1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=2|F1F2|.由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.引申探究1(变条件变结论)在本题组(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“F1PF2=60”,则F1PF2的面积是多少?规律方法规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面 考点二考点二双曲双曲线的的标准方程准方程例题(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()(2)(2023河北廊坊高三检测)江西景德镇青花瓷始创于元代,到明清两代达到了顶峰,它蓝白相映怡然成趣,晶莹明快,
7、美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面,如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是()规律方法规律方法 求双曲线方程的两种方法 对点训练(2022广东广州二模)写出一个同时满足下列性质的双曲线方程.中心在原点,焦点在y轴上;一条渐近线方程为y=2x;焦距大于10.考点三考点三双曲双曲线的的简单几何性几何性质(多考向探究多考向探究预测)考向1离心率问题 规律方法规律方法 求双曲线离心率(或其取值范围)的两种常用方法 考向2渐近线问题 规律方法规律方法 求双曲线渐近线方程的两种常用方法 考点四考点四与双曲与双曲线有关的最有关的最值和范和范围问题答案A 规律方法规律方法 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 A.2B.3C.4D.5 答案D
