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1、第二节两条直线的位置关系第二节两条直线的位置关系第九章第九章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.强基础强基础 固本增分固本增分1.两条直线的平行与垂直两条直线的方程 位置关系的判定l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2l1与l2重合k1=k2且b1=b2l1l2k1=k2,且b1b2两直线平行时,它们的斜率可能都不存在l1与l2相交k1k2l1l2k1k2=-1当一条直线的斜率不存在
2、,另一条直线的斜率为0时,l1l22.两条直线的交点相交方程组有唯一解;平行方程组无解;重合方程组有无数个解.微点拨微点拨 虽然利用方程组解的情况可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.3.三种距离此公式与两点的先后顺序无关 常用结论1.五个关于对称的结论(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为
3、(2a-x,2b-y).(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).2.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(nR).自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2l1l2.()2.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.()3.若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线
4、相交.()题组二双基自测4.(2022山东潍坊二模)已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1l2,则a=()答案A5.两平行直线3x-2y-1=0和6x-4y+3=0间的距离是()答案A6.直线l经过原点,且经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点,求直线l的方程.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一两条直两条直线的位置关系的位置关系(多考向探究多考向探究预测)考向1两条直线平行与垂直的判断及应用例题(1)(2022山东济南二模)“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.
5、既不充分也不必要条件(2)(2023江苏苏州高三检测)若直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a-b+c=()A.-6B.4C.-10 D.-4答案(1)A(2)C解析(1)充分性:当a=3时,直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0,即3x+y-3=0与3x+y+4=0,两直线平行,故充分性满足.必要性:直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行,则有a(a-2)-3=0,解得a=3或a=-1.当a=3时,两直线平行;当a=-1时,直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0,即-x+y-3=0与3x-3y+4=0,两直线平行.故必要性
6、不满足.故“a=3”是“直线ax+y-3=0与3x+(a-2)y+4=0平行”的充分不必要条件.(2)因为直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,所以2a-20=0,可得a=10.因为垂足为(1,b),所以10-4b+2=0,解得b=3,且有2+53+c=0,解得c=-17,因此a-b+c=-10.规律方法规律方法 解决两直线平行与垂直求参数的问题要“前思后想”考向2由两条直线位置关系求直线方程例题过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为.答案4x-3y+9=0(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3
7、y+4)=0,R,即(2+)x+(3-3)y+1+4=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+)+4(3-3)=0,解得=2,所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.规律方法规律方法 求过两直线交点的直线方程的两种方法对点训练(1)在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90所得的直线方程是()A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0D.x+2y+4=0(2)直线l经过两条直线x-y+1=0和2x+3y+2=0的交点,且平行于直线x-2y+4=0,则直线l的方程为()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x-y+2
8、=0D.2x+y-2=0答案(1)D(2)B考点二考点二距离距离问题题组(1)(2022安徽合肥三模)在平面直角坐标系中,已知点A(cos15,sin15),B(cos75,sin75),则|AB|=()(2)若第一象限内的点A(1,a)到直线4x+3y-1=0的距离为3,则a的值为.(3)(2023陕西咸阳模拟)已知直线x-2y+m=0(m0)与直线x+ny-3=0互相平行,且它们之间的距离是,则m+n=.答案(1)A(2)4(3)0规律方法规律方法 距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式求解,一般用来判断三角形的形状等.(2)解决与点到直线的距离
9、有关的问题应熟记点到直线的距离公式.若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.考点三考点三对称称问题(多考向探究多考向探究预测)考向1点关于点、直线关于点对称例题(1)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是()A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0(2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰好被点P
10、平分,则直线l的方程为.答案(1)D(2)x+4y-4=0解析(1)设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.(2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为+y=1,即x+4y-4=0.规律方法规律方法 两类中心对称问题(1)点关于点对称:点P(x,y)
11、关于M(a,b)的对称点P(x,y)满足(2)直线关于点对称的两种求解方法考向2点关于直线对称例题(1)点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是.(2)将一张坐标纸折叠一次,使点(3,2)与点(1,4)重合,则折痕所在直线的一般式方程为.答案(1)(-1,-3)(2)x-y+1=0考向3直线关于直线对称例题直线l1:x+y-1=0关于直线l2:3x-y-3=0对称的直线的方程为.答案x-7y-1=0规律方法规律方法 直线关于直线对称的两种求解方法对点训练已知直线l:y=3x+3,求:(1)直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程.
