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1、第六节对数与对数函数第六节对数与对数函数第三章第三章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a0,且a1).强基础强基础 固本增分固本增分1.对数的概念(1)定义:一般地,如果a(a0,且a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作 logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.(2)
2、常用对数与自然对数:常用对数:当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并把log10N简记为 lg N.自然对数:当对数的底数a=e时,通常称之为自然对数,并把logeN简记为 ln N.2.对数的性质(1)负数和0没有对数;(2)loga1=0,loga a=1;3.对数的运算性质换底公式的实质是将一个对数化为两个同底数的对数的商微点拨微点拨 换底公式的实质是将一个对数转化为两个同底数的对数的商.由此可得:(2)logablogbclogcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d0).4.对数函数及其性质(1)概念:函数y=logax(a0,且a1)称为对数函数,其中x是自变量,
3、定义域是(0,+).(2)对数函数y=logax(a0,且a1)的图象与性质图象和性质a10a1时,y0;当0 x1时,y1时,y0;当0 x0性质(5)在定义域(0,+)上是增函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大(5)在定义域(0,+)上是减函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大微点拨微点拨 1.对数函数y=logax(a0,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(,-1),函数图象只在第一、四象限.2.在直线x=1的右侧,当a1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0a0,且a1,m
4、0)图象所过的定点?5.反函数指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.微点拨微点拨 1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.常用结论1.对数值的符号法则:logab0(a-1)(b-1)0,logab0(a-1)(b-1)0,a1,b0.3.对于函数f(x)=|logax|(a0,且a1),若f(m)=f(n)(mn),则必有mn=1.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.若a0,a1,M0,N0,则loga(M+N)=logaM+
5、logaN.()2.若a0,a1,b0,b1,c0,则logablogbc=logac.()4.函数f(x)=loga(ax-1)(a0,a1)在其定义域上单调递增.()题组二双基自测5.(2023河南洛阳模拟)科学家研究发现,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系是lg E=4.8+1.5M.据中国地震台网测定,2022年1月8日,11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震,1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震.设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为E1,门源县地震所释放的能量为E2,A.15B.20C.32D.35答案C 6.已知log0.7(2m)0,
6、且a1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0a-1b1B.0ba-11C.0b-1a1D.0a-1b-11.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图象可知-1logab0,即logaa-1logabloga1,所以a-1b1.综上,0a-1b1.引申探究1将本题组(2)中“4xbcB.acbC.bcaD.cba(2)设a=log26,b=log312,c=log515,则()A.abcB.cbaC.bacD.calog22=1,log34log33=1,0log53c,bc.又因为2log23=log29log28=3,2log34=log3162log34,即log2
7、3log34,ab.所以abc.规律方法规律方法 比较对数值大小的方法 若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论若底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2解简单的对数不等式题组(1)已知函数f(x)=|log2x|,则不等式f(x)logab借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0ab需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解考向3对数型函数性质的综合应用 答案ACD 规律方法规律方法 有关对数型函数的综合问题要注意的三点 定
8、义域所有问题都必须在定义域内讨论底数要判断底数与1的大小关系复合函数的构成判断复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的对点训练(1)若abc1且aclogbclogcaB.logcblogbalogacC.logbclogablogcaD.logbalogcblogac(2)(2023河南许昌高三质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(log2x)0的解集为()答案(1)B(2)D(3)C(3)对于A,由题意知mx2+4x+80对xR恒成立,由于当m=0时,不等式4x+80不恒成立,所以m0.当m0时,由 ,所以A不正确;对于B,若函数f(x)的值域为2,+),则f(x)min=2,显然m不为0,则函数y=mx2+4x+8的最小值为4,则当 ,解得m=1,所以B不正确;对于C,若f(x)在区间-3,+)上单调递增,则y=mx2+4x+8在-3,+)上单调递增,且在-3,+)内的函数值为正,所以对于D,若m=0,则不等式f(x)1等价于log2(4x+8)1,则04x+82,解得-2x-,所以D不正确.故选C.
