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1、第九节函数模型及其应用第九节函数模型及其应用第三章第三章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.强基础强基础 固本增分固本增分1.指数、对数、幂函数模型性质的比较性质函数y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+)上的单调性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来
2、越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同微点拨微点拨 “直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”是先慢后快,其增长速度越来越快,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”是先快后慢,其增长速度越来越缓慢.2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x)=ax+b(a,b为常数,a0)反比例函数为常数,k0)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)指数函数f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数f(x)=a
3、xn+b(a,b,n为常数,a0)自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.函数y=2x的函数值恒比y=x2的函数值大.()2.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.()3.指数型函数模型,一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题.()4.若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=log2x,则当x(4,+)时f(x)g(x)h(x).()题组二双基自测5.(2023安徽皖江名校高三联考)某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率y和温度x(单位:)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,20)得到下面
4、的散点图.由此散点图,在10至40之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=ax+bB.y=ax2+bC.y=alnx+bD.y=aex+b答案C解析根据图中散点图可知,散点大致分布在某一条对数型函数曲线周围,A选项是直线型,B选项是抛物线型,D选项是指数型,只有C选项是对数型.故选C.6.已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,且当年产量是100时,总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一用
5、函数用函数图象刻画象刻画实际问题的的变化化过程程例题假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是()A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者
6、数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值答案C解析由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者数量最大时是在图象最右端,最小时是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大时是在图象最上端,最小时是在图象最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数量最大时在图象最右端,x(t)(25,30),y(t)(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)(25,80),由图象可知存在点x(t)
7、=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.规律方法规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案.考点二考点二已知函数模型解决已知函数模型解决实际问题题组(1)(2023山东肥城模拟)垃圾分类,一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和
8、经济价值,力争物尽其用.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备,降低处理成本,减少土地资源的消耗,具有社会、经济、生态等几方面的效益.已知某种垃圾的分解率v与时间t(单位:月)满足函数关系式v(t)=abt(其中a,b为非零常数).若经过6个月,这种垃圾的分解率为5%,经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,那么这种垃圾完全分解(分解率为100%)至少需要经过()(参考数据lg20.3)A.40个月B.32个月C.28个月D.20个月(2)(2022上海崇明二模)环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试,国道限速80km/h.经多次测试得到该
9、汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如下表所示:v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:()当0v80时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由),并求出相应的函数解析式;()现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地,其中高速上行驶200km,国道上行驶30km,若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的关系满足N(v)=2v2-10v+200(80v120),则如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少?规律方法规律方法 根据给定函数模型解决
10、实际问题的技巧(1)认清函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数.(2)根据已知条件,确定模型中的待定系数.(3)分析函数模型,借助函数的性质解决相关问题.考点三考点三构建函数模型解决构建函数模型解决实际问题(多考向探究多考向探究预测)考向1构建二次函数模型例题某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)项目类别 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,预计m6,
11、9,另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域;(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划.令1520-200m0,得6m7.6;令1520-200m=0,得m=7.6;令1520-200m0,得7.6m9.综上,当6m7.6时,投资生产A产品200件可获得最大年利润;当7.6m9时,投资生产B产品100件可获得最大年利润;当m=7.6时,投资生产A产品和B产品获得的最大利润一样.规律方法规律方法 构建二次函数模型解决实
12、际问题的注意点(1)确定二次函数模型的解析式时,一般是借助已知点来确定,常用待定系数法;(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.考向2构建指数、对数函数模型题组(1)(2023山东青岛高三调研)一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效,而低于500mg病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过()小时向病人的血液中补充这种药,才能保持疗效.(附:lg20.3010,lg30.4771,结果精确
13、到0.1h)A.2.3小时B.3.5小时C.5.6小时D.8.8小时(2)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为vm/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.研究鲑鱼的科学家发现v与成正比,且当Q=900时,v=1.若一条鲑鱼要把游速提高1m/s,则其耗氧量的单位数应变为原来的()A.9倍B.27倍C.36倍D.81倍答案(1)A(2)A解析(1)设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液中补充这种药,则2500(1-20%)x1500,整理得0.8x0.6,所以xlog0.80.6.所以x2.3,即应在用药2.3小时后再向病人的血液中补充这种药.规律方法规律方法 应用指数、对数函数模
14、型应注意的问题(1)指数、对数函数模型的应用类型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数、对数函数模型来解决.(2)应用指数、对数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.考向3构建分段函数模型例题(2023浙江舟山高三模拟)2022年第24届北京冬季奥运会是由中国举办的国际性奥林匹克赛事,冬奥会的举办带动了我国3亿人次的冰雪产业,这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.某冰雪装备器材生产企业,生产某种产品的年固定成本为2000
15、万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)(单位:万元).经计算,若年产量x千件低于100千件,则这x千件产品成本C(x)=x2+10 x+1100;若年产量x千件不低于100千件时,则这x千件产品成本C(x)=120 x+-5400.每千件产品售价为100万元.为了简化运算,我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润y万元关于年产量x千件的函数解析式.(2)当年产量为多少千件时,企业所获得利润最大?最大利润是多少?规律方法规律方法 构建分段函数模型解决问题的注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,应构建分段函数模型求解;(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大者(最小者).
