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1、第二节平面向量基本定理及向量坐标运算第二节平面向量基本定理及向量坐标运算第七章第七章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.强基础强基础 固本增分固本增分1.平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一向量a,存在唯一的一对实数1,2,使a=1e1+2e2.我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为e1,e2.若基中的两个向量互相垂直,
2、则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.微点微点拨 1.组成基的e1,e2必须是平面内不共线的两个向量,零向量不能作为基中的向量.2.给定基,同一向量的分解结果是唯一的,因此若e1,e2是基,且a=1e1+1e2=2e1+2e2,则必有1=2,1=2.2.平面向量的坐标运算 当向量用坐标表示时,其加法、减法、数乘运算的法则运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2)加法a+b=(x1+x2,y1+y2)减法a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘a=(x1,y1),其中R微点拨微点拨 1.向量坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.2.要区分点的
3、坐标与向量坐标,尽管在形式上它们类似,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息,也有大小的信息.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.常用结论1.若a与b不共线,a+b=0,则=0.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.若a,b不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是 .()3.平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()4.当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()题组二双基自测 6.已知|
4、a|=3,b=(1,2),且ab,则a的坐标为.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一平面向量基本定理及其平面向量基本定理及其应用用(多考向探究多考向探究预测)考向1用基表示平面向量答案A 规律方法规律方法 求解“与两直线交点相关向量的分解”问题的方法(1)待定系数法:先将相关向量用给定的基线性表示,然后将两个基向量进行两次不同的转化,使得转化后的基向量与相关向量的终点在同一条直线上,再根据“三点共线系数和等于1”的性质得到两个关于待定系数的方程,解方程组即得待定系数的值,从而得到相关向量的分解表达式.(2)共线向量定理法:首先由两直线相交产生的两个“三点共线”关系,根据共线向量定理用,设
5、出与基向量有关的向量,然后将相关向量通过两种不同的形式用基表示(含有,),再根据平面向量基本定理(同一向量表示方法唯一)得到系数相等,解方程组即得,的值,从而得到相关向量的分解表达式.答案B 考向2利用平面向量基本定理求参数 规律方法规律方法 利用平面向量基本定理求参数的基本方法(1)分解法:直接利用平面向量线性运算的法则,用给定的基对相关向量进行分解表示,根据平面向量基本定理求得参数值.(2)坐标法:若问题中给出的平面图形适合建系,则可建立平面直角坐标系,写出相关点的坐标,得到相应向量的坐标,然后利用待定系数法根据向量的坐标运算法则求得参数值.考点二考点二平面向量的坐平面向量的坐标运算运算答
6、案(1)C(2)B(3)(-1,3)或(3,5)规律方法规律方法 平面向量坐标运算的技巧利用向量的坐标运算解题时,首先利用加法、减法、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.考点三考点三平面向量共平面向量共线的坐的坐标表示表示A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知点A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若点M在线段AC上,且BM=2,则点M的坐标为.引申探究1(变结论)本题组(2)中,若已知条件不变,则在线段AC上是否存在点M,使得BM=4?引申探究2(变结论)本题组(2)中,条件不变,若O为坐标原点,试求直线OB与直线AC的交点P的坐标.规律方法规律方法 1.已知向量共线(平行)求参数值时,主要利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件为x1y2=x2y1”这一结论进行求解.2.求与已知向量a=(x,y)共线的向量的坐标时,一般先设所求向量为a=(x,y),R,再根据其他条件建立关于的方程,解得的值代入即得所求.3.求两直线交点坐标时,可充分利用两直线相交产生的两个“三点共线”关系,结合共线向量基本定理求解.
