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1、能 被 2 、 3 、 4 、 5 、6 、 7 、 8 、 9 等 数 整 除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征，性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a b）也能被c 整除。性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们 的积也能被这个数整除。能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数 都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整 除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能 被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整
2、除，那么，这个数就一定能被4或25整除例如：4675 = 46X100 + 75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然 能被25整除因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除又如： 832=8X100+32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被 4整除因此， 因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个 数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数
3、既能被2整除又能被3整除，那么 这个数能被6整除能被7整除的数， 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易 看出是否7的倍数，就需要继续 上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直 到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13 3X2 = 7, 所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 9X2 = 595 ,59 5X2 = 49，所以6139是7的倍数，余类推。能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这 个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和
4、能被9整除，那么这个数能被9整能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能 被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和 之差（大数减小 数）能被11整除，则该数就能被11整除。 11的倍数检 验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而 是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能 被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个 位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不 易看出是否13的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差
5、的过程， 直到能清楚判断为止。能被17整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不 易看出是否17的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程， 直到能清楚判断为止。另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被 17整除，则这个数能被17整除能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个 位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不 易看出是否19的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程， 直到能清楚判断为止。另一种方法：若一个整数的
6、末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整 除，则这个数能被19整除能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被 23（或29）整除，则这个数能被23整除能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除。能被125整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。F； =w(M-l).(w-r+l) = -_(rz r)!PrrtC_亠旳_f*讯 r! r(n r)公式p是指排列，从n个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9 != 9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式
7、应该为n* (n-1) *(n-2).(n-r+l);因为从n到(n-r+1)个数为n -(n-r+1)=r举例：Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位【？A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式二P（3，9） = 9*8*7,（从9倒数3个的乘积）Q2:有从1 到9共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以
8、组合成多少个“三国联盟”？A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组（1）每名学生都只参加一个课外小组；（ 2）每 名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加 4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小 组的人数，因此共有 种不同方法（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每
9、个小组至多有一名学生参加， 因此共有 种不同方法点评 由于要让 3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多 少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不 同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.(1) 高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共
10、通了多少封信？每两人互握了 一次手，共握了多少次手？(2) 高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不 同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3) 有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19八个质数： 从中任取两个数求它们的商可以有多 少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？(4) 有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中 选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析 (1)由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺 序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与
11、乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无 关，所以是组合问题其他类似分析(1) 是排列问题，共用了封信；是组合问题，共需握手(次)(2) 是排列问题，共有(种)不同的选法；是组合问题，共有种不同的选法.(3) 是排列问题，共有种不同的商；是组合问题，共有种不同的积.(4) 是排列问题，共有种不同的选法；是组合问题，共有种不同的选法.排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一
12、些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示（一）加法原理乘法原理说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5 位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的 报名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）（ 二 ） 排列、排列数公式说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法 比
13、较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000的 偶数共有 （ ）A.60 个B.48 个C.36个 D.24 个解因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12 ；小于 50 000 的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有Pi3；在首末两位数排定 后，中间3个位数的排法有P得Pipy二36（个）由此可知此题应选 C.例3将数字1、 2、 3、 4填入标号为1 、 2、 3、 4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3， 3142， 4 123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3Pi =9（种）.3
