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1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1设 f (x)是一次函数，且 f f(x) = 4x + 3，求f(x)f f (x) = af (x) + b = a (ax + b) + b = a 2x + ab + b 解：设 f (x)二 ax + b(a 丰 0)，贝配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配 成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数 的定义域，而是g(x)的值域。 f (x + ) x2 + , c、r /、例2已知 xx2 (x 0)，求f (x)的解析式1 1 1解
2、： f(x + X)二(x + x)2 - 2，x + 匚 2 / f (x)二 x 2 - 2(x 2)三、换元法：已知复合函数f g(x)的表达式时，还可以用换元法求f (x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 /(%x +1)= x + 2 1， x 二(t -1)2 Q f G;x +1) = x + 2*x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数y二x2 +兀与歹二g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式解：设M(x，y)为y二g(x)上任一点，且My)为M(兀y)关于点(-2,3)的对称点x
3、+ x=-22y + y = 3fx 二-x - 4则 I 2 ，解得：1 y二 6 y ， 点 M (x, y)在 y 二 g (x)上 y二 x2 + x x = - x - 4把 1 y，二 6 - y 代入得：6 - y 二(-x - 4)2 + (-x - 4) 整理得 y 二x2 - 7x - 61例 5 设 f (“)满足f (x) - 2f U)二 x，求 f (x)f (x) 2f (丄)二 x、0、丄f (丄)一2f (x)二 1解x 显然x丰0将x换成x，得xx解 联立的方程组，得23x例6设 f (x) 为偶函数， g(x) 为奇函数，又1R试求f(x)和g(x)的解析
4、式f (x) + g (x) =解 0 f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(一x)= f(x)，g(一x)二一g(x)又x-1，用-x替换x得:f (-x) + g (-x)=-f(x) 解 联立的方程组，得g (x)二六、赋值法:当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任 意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：f()二1，对于任意实数x、y,等式f (x 一 y)二f (x) 一 y(2x y +1)恒成 立，求 f (x)解Q对于任意实数x、y,等式f (x 一 y)二f (x) 一 y(2x y +1)恒成立，不妨令兀=，则有 f
5、(y) = f() y(y +1) =1 + y(y1) = y2 y +1 再令y = x 得函数解析式为：f (x) = x 2 + x + 1 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后 通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设f (x)是定义在 N上的函数，满足f (1) = 1，对任意的自然数a，b都有f (a) + f (b) = f (a + b) ab，求 f (x) f (x) + f (1) = f (x +1) - x，解0f (a) + f (b) = f (a + b) 一 ab， a,b e N+不 妨 令 a=x,b=1
6、， 得 ：又 f (1) = 1,故f (x +1) - f (x) = x +1f(2)- f(1)=2, f(3)- f(2) =3,LLn(n +1)八、11f (n) = 1 + 2 + 3 +A n =/. f (x) =x2 + x, x g Nf (n) - f (1) = 2 + 3 +A n，八222+ 2.4. 求下列函数的解析式: (1)已知 f(x+l)=x2-3x+2，求 f (x). (2)已知 f(x)+2f( x )=3x,求 f(x)的解析式 8.已知f (x)是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对xR恒成立，则f (x)二 函数值域求法十一种1.
7、直接观察法1对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数y X的值域。解:x丰0X丰0显然函数的值域是：(-0)丫(0，+Q例2.求函数y = 3-Jx的值域。解：.赢 0 匚 0,3-萇 3故函数的值域是: -32. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数y = x2- 2x + 5,x g-1,2的值域。解：将函数配方得：y=(x1)2 + 4 x g-1,2由二次函数的性质可知：当x=i时，ymin = 4，当x=-1时，ymax =8故函数的值域是:4，83. 判别式法1 + x + x2y =例4.求函数1 + x2的值域。解：原函数化为关于x的一元
8、二次方程(y - 1)x2 + (y - 1)x = 0 (1)当 y 主1 时，x g r13 y 0 解得：2 _ _ 2(2)当y=1 时,1 3 1 3 故函数的值域为_ 22 _1gx =0，而例5.求函数y= x +農(2-X)的值域。解：两边平方整理得：2x2 2(y + l)x + y2 = 0 ().x e R.二4(y +1)2 8y 0解得：1-込 y 0，得 0 x 0,仅保证关于x的方程：2x2- 2(y + 1)x + y2 = 0在实数集R有实根，而不能确保 其实根在区间0, 2上，即不能确保方程(1)有实根，由A0求出的范围可能比y1 3 的实际范围大，故不能确
9、定此函数的值域为丘迈一y = x + i：x(2 x) 0可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。- ymin = 0，y =1 +运代入方程(1 )解得：2 +込-24巨72e 0,2=2 +勺込-2-即当x】2时，原函数的值域为：01 +迈 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数 的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x + 4例6.求函数5x + 6值域。x = 函数的值域为：V 5丿5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值
10、域。 ex 1 - 6y= 4 6y3ex解：由原函数式可得：5y -3则其反函数为：y5x-3，其定义域为：xz 5故所求圧 0T ex 0 A y -1 解得：-1 y 1故所求函数的值域为（-1，1）_ COSX 例8.求函数数_ sinx - 3 的值域。解：由原函数式可得：ysinx - cosx _ 3y ,可化为：皿+1 sin x（x +卩）_ 3y即 sin x（x + B） _ 3y-1 3y 7 1v22y2 +1 x e R A sinx（x + 卩）引-1，1即V，y2 +1 解得：一-_y_ V 故函逅v2数的值域为I/ 4 4 _6. 函数单调性法例 9.求函数y
11、_2x_5 + log3 Jx_i（2x0，故原函数的值域为（，冋7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。y = t2 + t +1 = (t + 丄)2 + 324又t0,由二次函数的性质可知当t = 0时，ymin -1当tT0时,1,+s)例12.求函数y=x+2 + C-(x+1)2的值域。因 1 - (x + I)2 0艮卩(x + 1)2 1 故可令y T+s故函数的值域为x + 1 = COS 卩,p G 0,兀y = cosp +1 + ：1 一
12、 cos2 p = sin p + cosp +1=： 2 sin(p + ) +10 p 兀,0 p + 5 兀4*.*44故所求函数的值域为+卞2y=例 13. 求函数2x1 - x 2x1y = x八小解：原函数可变形为：2 1 + X2 1 + X2可令X = tgp ,竺=sin 2p,= cos2 p 则有 1 + X21 + X21 1k y=-2sin2px cos2p=-4sin4p 当 p=3飞时,ymaxk 1p =+y =28 时，min 4一 1而此时tan卩有意义。故所求函数的值域为一4X G 例 14.求函数 y = (sinx + 1)(cosx +1),L 122的值域。1sin xcosx = (t2 一 1) 解：y =(sin x + 1)(cos x +1) = sin x cos x + sin x + cos x +1 令 sinx + cos x = t ,贝02y =丄(t2 -1) + t +1 = (t +1)222X E 由 t = sin x + cos x = 2 sin(x + / 4) 且可得：当t =、込时,3 忘v23 近y= + x/ 2t =y = +max 2 ，当 2时， 42故所求函数的值域为3 + 迈,3 + ,I4 22例15.求函数y = x + 4 + ：5-X2的值域。
