《2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲a训练28立体几何中的向量方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲a训练28立体几何中的向量方法.docx（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识点一空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度为_的向量0单位向量模为_的向量相等向量方向_且模_的向量ab相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相_的向量ab共面向量平行于同一个_的向量知识点二共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_推论如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的_在l上取a，则可化为_.(2)共面向量定理的向量表达式：p_，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有_或xyz，其中
2、xyz_.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底知识点三空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_如果a，b，那么向量a，b_，记作ab.两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作_即_.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b_；交换律：ab_；分配律：a(bc)_.知识点四空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则：(1
3、)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)(3)a(a1，a2，a3)(4)aba1b1a2b2a3b3.(5)若a，b为非零向量，则abab0a1b1a2b2a3b30.(6)若b0，则ababa1b1，a2b2，a3b3.(7)|a|.(8)cosa，b.(9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则dAB|.知识点五平面的法向量直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量知识点六空间中直线与直线关系的向量表示若空间不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则ababab(R)，ababab0.知识点七空间中直线与平面关系的向
4、量表示若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则aaanan0，aaanan.知识点八空间中平面与平面关系的向量表示若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则abab，abab0.知识点九空间中异面直线所成角的向量求法设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有cos |cos |.知识点十空间中直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sin |cos |.知识点十一空间中二面角的平面角大小的向量求法设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小若二
5、面角l的平面角为，则|cos |.例1(2015年10月学考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点，设AM与平面BB1D1D的交点为O，则()A三点D1，O，B共线，且OB2OD1B三点D1，O，B不共线，且OB2OD1C三点D1，O，B共线，且OBOD1D三点D1，O，B不共线，且OBOD1例2如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则等于()AabcBabcCabcDabc例3(2016年4月学考)已知空间向量a(2，1,5)，b(4,2，x)(xR)，若ab，则x等于()A10 B2 C2 D10例4已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意
6、三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z的值为_例5(2016年4月学考)如图，将棱长为1的正方体ABCDEFGH任意平移到A1B1C1D1E1F1G1H1，连接GH1，CB1，设M，N分别为GH1，CB1的中点，则MN的长为_例6如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.例7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是BB1，DD1，DC的中点(1)求证：平面ADE平面B1C1F；(2)求证：平面ADE平面A1D1G
7、；(3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.例8如图，在长方体AC1中，ABBC2，AA1，点E、F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中点以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值一、选择题1下列四个说法：若向量a、b、c是空间的一个基底，则ab、ab、c也是空间的一个基底；空间的任意两个向量都是共面向量；若两条不同直线l，m的方向向量分别是a、b，则lmab；若两个不同平面，的法向量分别是u、v，且u(1,2，2)，v(2，4,4)，则.
8、其中正确的说法的个数是()A1 B2 C3 D42.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc3若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)4已知点A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点，且3|，则点C的坐标是()A(，) B(，3,2)C(，1，) D(，)5若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与相交但不
9、垂直6如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A. B. C. D07.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是()A. B. C. D.8正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A30 B45 C60 D90二、填空题9已知向量a(2，1,3)，b(4,2，x)若ab，则x_；若ab，则x_.10设O为坐标原点，向量(1,2,3)，(2,1,2
10、)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为_11在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_12.如图所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC_.三、解答题13如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值答案精析知识条目排查知识点一01相同相等平行或重合平面知识点二(1)存在实数，使ab方向向量t(2)xaybxy1(3)xaybzc知识点三(1)a，b0a，b互相垂直|
11、a|b|cosa，babab|a|b|cosa，b(2)(ab)2baabac题型分类示例例1A以正方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，M(0，1)设点O(x，x，z)，(x1，x，z)，(1，1)，又与共线，(x1，x，z)(，)，即解得点O(，)，(，)，又(1，1,1)，D1，O，B三点共线，且OB2OD1，故选A.例2D如图所示，连接A1C，则在A1CB中，有()b(ac)abc.例3Cab，ab2(4)(1)25x0，得x2.例41解析由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得x1y1z1且x1y1z11，因此，2x3y4z1.例5解析由题意，不妨设平面ABFE与平面D1C1G1H1重合，则N与B重合，M是GE的中点，MN .例6证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(
