课题讲解《高等数学第一章》

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1、 第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：是由，和这三个简单函数复合而成.例如：是由，和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数： （4）对数函数： （5）三角函数：，（6）反三角函数：，其中： （正割函数） ， （余割函数） 三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）

2、一、无穷小1、定义：以0为极限的量称无穷小量。注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例1：极限，即当时，变量是无穷小；但是当时，就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例2：例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.A、 B、 C、 D、E、 F、 G、 H、答案：选C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当（或）时，无限地增大或无限减小，则称是当（或）的无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与的常量混为一谈。 （2）无限增

3、大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）。三、无穷小和无穷大的关系：若为无穷大，则为无穷小；若为无穷小（0），则为无穷大例如：当时，为无穷小，则为无穷大。 当时，为无穷大，则为无穷小。第三节、极限的运算方法（重中之重！选择、填空和解答题都会考到） 一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即，为任意常数（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对的时候，而时则不能用代入法，因为是变量，并非实数！ 例1： ， ， ， ，例2：=例3：=例4：=二、未定式极限的运算法（重点，每年必考一题

4、！）1、未定式定义：我们把、，等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1）， ， ， 为未定式（2）为未定式， 为未定式， ， 为未定式上述和下述的都代表无穷小，即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。（对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小

5、的这一关系进行计算。（3）对于未定式：先通分将转化成或的形式，然后再用上述或的计算方法进行计算。例1：计算. 未定式，提取公因式解：原式= 例2：计算. 未定式，提取公因式解：原式= = 例3：计算. 未定式，先去根号再提取公因式解：原式=例4：计算. 未定式，分子分母同除以解：原式= 无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2例5：计算. 未定式，先求极限再开三次方解：原式=例6：计算. 未定式，先通分，后计算解：原式=注意常用的几个代数转换公式： 三、利用两个重要的极限 （重点掌握公式，一般考选择、填空）1、公式：=1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）2、公式：= 或 =

6、（1）适用范围：一般用于“” 未定式的极限式（2）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量新变量t的进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。注意：于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。例1：计算. 未定式，先换元然后用公式求解解：令，得，即 将复杂的变量换元成新变量t当时， 求出新变量的变化趋势所以原式= 转换成新变量的极限式后再用公式求例2：计算. 未定式，先换元然后用公式求解解：令，得，即 先换元当时， 求出新变量的变化趋势所以原式=四、利用等价无穷小的代换求极限（重点、每年必考一题！）1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小

7、，即如果=1，称与是等价无穷小，记作.例1：由公式可知极限=1 ，所以当时，与是等价无穷小.例2：当时，函数与是等价无穷小，则= .2、用等价无穷小的代换求极限（1）定理：设、均为无穷小，又，且存在则= 或 注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。（2）常用的等价无穷小代换（7个）：当时，, , , , , 注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！例1：当时，2，, , ,，例2：极

8、限= 用2等价代换 极限= 用等价代换例3：计算.解：当时， 等价代换所以原式= 计算例4：计算.解：当时， 等价代换所以原式= 计算例5：计算.解：当时， 等价代换所以原式= 先去根号，再计算第四节、函数的连续性（每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性（往往考已知函数在某点处连续，求一个未知量常数）1、函数在点处的连续定义：设函数在的某范围内有定义，如果函数满足 ， 则称在点处连续2、 函数在点处连续的充要条件 即函数在既满足左连续又满足右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限） ，例1：设函数= 在处连续，求. （分段函数） ， 解：因为函数在处连续，即满足因为=且=，所以=. ， 例2：设函数= 在处连续，求. （分段函数） ，解：因为函数在处连续，因为=，=，且=所以. ， 例3：设函数= 在处连续，求. ，解：因为函数在处连续，因为= ， =且= ， 所以注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！