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1、 选取适当的样本空间 巧解古典概率题摘 要：笔者在进行概率统计课程教学的过程中，发现学生对古典概率题的解答，计算往往十分繁杂。特别在计算中常常会用到排列组合的计算公式，计算量大不说，而且容易出错。但只要我们充分掌握了对古典概率的要求，在解题时只要能选取适当的样本空间，复杂的排列组合计算也是可以避免的。关键词：古典概率 样本空间 巧解在解答古典概率题时，首先要计算样本空间的样本点数即基本事件数n和某一事件a的有利事件数m，这样就可以计算出事件a发生的概率为p(a)= 。这个看似简单的公式，但我们往往会计算很复杂，而且在计算中常常会用到排列组合的公式计算，就会使一些问题的计算量很大，容易计算错误，
2、而功亏一篑。那么我们能不能用一些简单的方法来解决这个矛盾呢？答案是肯定的。只要我们在分析问题时能选取适当的样本空间，就可以巧解这一类问题。我们通过以下几个问题来进行探讨：例一 将1,2,，n这n个数字任意排列，试求：（1）2在1前面的概率；（2）1,2,3依次出现的概率。解：（1）方法一. n个数字作为样本空间的基本事件的考虑对象，则 n个数任意排列，有n！种排法，即样本空间的样本点数为 n！。2一定排在1之前这个事件的有利事件数为 c2n（n-2）！种排法，所以所求概率为:方法二 注意到题中的要求是求2排在1前面的概率，所以我们只关心的是1和2这两个数字的排法，1和2两个数字任意排，有两种排
3、法，则样本空间=(1,2)，（2,1），即包含两个样本点。设a=2在1前面，于是a=(2,1)只包含一个样本点，所以所求概率为:p（a）=(2)方法一. 考虑n个数字任意排列的情况，n个数字任意排列有n！种不同排法，所以样本空间的样本点数为n！，而对于事件a=1,2,3依次出现的有利事件数可以这样来计算：“1,2,3依次出现”可以依次出现在n个位置的三个位置上，所以有c3n种站位方法，这三个位置被1,2,3依次占据后，其余n-3个数字可按任意次序在余下的n-3各位置上站位，有（n-3）！种排法。因此，事件a的有利事件数为c3n（n-3）！，因而“1,2,3依次出现”的概率为：方法二 我们不用考
4、虑n个数字的排列，因为我们只需考虑1,2,3这三个数字的排列情况，所以我们可以选取适当的样本空间，这时我们只以1,2,3做考虑对象，所以1,2,3任意排列有3！种不同排法。即：=（1,2,3），（1,3,2），（2,3,1），（2,1,3），（3,1,2），（3,2,1），样本空间中包含6个样点。如果a=1,2,3依次出现，那么a仅包含了1个样本点，即a=(1,2,3），所以事件a=1,2,3依次出现的概率为：p(a)=由本例我们可以看到：有关这类数字的排列而产生的概率的问题，只要我们能根据具体情况，适当选取样本空间，就可以通过简单的计算来解答，从而避免了复杂的排列组合计算。例二袋中有a个黑球
5、，b个白球，现将球随机地一个一个不放回地摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率（1ka+b）。解：方法一 将球看成是各不相同，因为取球是不放回的，所以应考虑排列。每k个排列好的球构成一个基本事件，此时样本空间所包含的样本点数为aka+b.设ak=第k次摸出黑球这相当于在第k个位置上放一个黑球（有c1a=a种放法），在其余k-1个位置上摆放从余下的a+b-1个球中任取k-1个球，所以事件ak包含的有利事件数为aa ，于是事件ak的概率为：方法二 设ak=第k次摸出黑球。因为我们只考虑的是最后摸出的一个球是白球还是黑球，所以，考虑样本空间时只对最后一个球进行考虑。这样我们可以选取适当的样本空间。首先
6、把a+b个球加以编号，前a个球为黑球，后b个球为白球，设wi表示第k次摸出第i号球，则样本空间=w1，w2，wa+b，即样本空间的样本点数为a+b。容易知道每一个球都等可能的在第k次被摸到，所以ak=第k次摸出黑球的样本点为ak=w1，w2，wa，因此，ak的有利事件数为a。故由古典概率的计算公式可求出事件ak的概率为：比较本例的两种解法可以发现，方法二中样本空间的取法最小，再小就不能保证等可能性了。方法一中选取的样本空间较大，没有方法二直观、简单。例三 n个老同学随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）a=甲、乙坐在一起，且乙在甲的左边；（2）b=甲、乙、丙坐在一起。解：方法一 围成圆圈
7、的椅子不编号，n个人围圆桌而坐的不同方法为n个不同的元素排列圆圈的排列数，即样本空间的样本点的总数为：n= =（n-1）！（1）因为乙坐在甲的左边，将甲、乙两人看成一人，所以事件a的有利事件数就是（n-1）个不同元素排成圆圈的排列数，即 =（n-2）！所以事件a的概率为：（2）类似地，将甲、乙、丙看成一人，这时有 =（n-3）！种排法。当n4时，甲、乙、丙3人共有3！种不同的排法。由乘法原则可知b的有利事件数为（n-3）！3！，所以事件b的概率为：特别地，当n=3时，甲、乙、丙总是在一起的有：p(b)=1方法二 （1）将椅子编号，任何人坐了不同编号的椅子都看成是不同的排法，所以样本空间的样本点
8、数为n!。甲有n种不同的坐法，乙坐在甲的左边，其余的人共有（n-2）！种坐法。所以事件a的有利事件数为n（n-2）！，故事件a的概率为：（2）当n4时，甲有n种坐法，乙、丙与甲相邻而坐占了2个位子，其余的人共有（n-3）！种坐法；而乙和丙可能在甲的两边，有2种坐法；可能都在甲的右边，有2种坐法，；也可能都在甲的左边，也有2种坐法。所以甲、乙、丙的相对位子共有6种，因此事件b的有利事件数为6n（n-3）！。故事件b的概率为：特别地，当n=3时，事件b是必然事件，故p（b）=1方法三 （1）我们只需考虑甲、乙两人的座位关系，所以我们可以选取适当的样本空间，不妨假设甲已坐定，这时乙的坐法有（n-1）
9、种。这（n-1）个位置都是等可能的，即这时的样本空间的样点总数为n-1.而a=甲、乙坐在一起，且乙在甲的左边的有利事件数只有一种，所以事件a的概率为：（2）类似地，甲坐定后，乙、丙共有（n-1）（n-2）种坐法，所以这时样本空间的样本点数的总数为（n-1）（n-2）。而b=甲、乙、丙坐在一起的有利事件数为6，所以事件b的概率为：特别地，当n=3时， p（b）=1从本例可看出，用计算排列的方法来做是比较复杂的。但是当我们选取适当的样本空间后，不用排列组合而十分简便地得到结果。例四 任取一个正整数，求该数的平方的个位数是1的概率。本例在学生解答时常常把正整数全体取为样本空间，而这样的样本空间是无限
10、的，就谈不上等可能性了，所以如果把全体正整数取为样本空间我们就不能用古典概率来计算，因此，我们只能选取适当的样本空间。我们首先考虑，一个正整数的平方的个位数只取决于该整数的个位数，它们可以是0，1,2，9这十个字中的任一个。所以我们就可以把样本空间取为=0，1,2，9，设a=任取一个正整数，该数的平分的个位数是1，而在0，1,2，9这十个数字中，显然只有1和9这两个数字的平方的个位数是1，所以事件a的有利事件数为2，即a=1,9。故所求的事件a的概率为：本例说明对一些特别的问题，如果我们不会选取适当的样本空间，不仅计算困难，而且是不能用古典概率的方法来解决。而当我们选取适当的样本空间后，就使问
11、题的解答简单、直观。如果我们对这种方法理解和熟悉后，我们在计算条件概率时是可以运用这种思想的。在事件a发生的前提下，选取b的适当样本空间，并在这个适当的样本空间中计算b发生的概率，从而计算出p（ba）。这种方法常常叫做缩减样本空间法。例五 在1,2,3,4,5这五个数码中，每次取一个数码，取后不放回，连取两次。求在第一次取到偶数的条件下，第二次取到奇数的概率。首先我们来对问题进行分析：用（i，j,）表示第一次取出数码i且第二次取出数码j，则随机试验所产生的样本空间为：=（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，
12、4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）如果把“第一次取得偶数”记为事件a，这个条件作为随机试验的先决条件，这时样本空间为：a=（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5）这个空间我们就常常叫做“缩减的样本空间”，它是把中第1数是奇数的12个样本点除去后，剩下的8个样本点所构成的新样本空间（不考虑第2个号码是奇数还是偶数）。因此，我们仅考虑第一次抽样的随机试验所组成的样本空间=1,2,3,4,5，则第一次抽去一个偶数后，其样本空间缩减为a=i，1,3,5，其中i取偶数2或4
13、.空间可以用条件概率公式来计算概率，缩减的样本空间可以用古典概率公式直接计算概率。解：方法一 设a=第1次取出偶数b=第2次取出奇数因为两次取数的随机试验所构成的样本空间的样点的总数为 a25个，其中事件a的有利事件数为 c12c14所以，又在中第一次取出偶数且第二次取出奇数的样点的点数为c12c13，所以由条件概率公式可得：方法二 我们缩减样本空间考虑时，a所包含的样本点数为c12c14(或a25-c13c14)个，其中第2个数码是奇数的样本点数为c12c13(或a25-c13c14-a22)个。故由古典概率计算公式可得：方法三 我们首先考虑第一次抽样时的样本空间，这时的样本空间=1,2,3
14、,4,5，如果第一次抽取一个偶数后，样本空间缩减为：a=i，1,3,5，其中i取2或4。在缩减的样本空间a中，第二次抽取到奇数的样本点为1,3,5,即有利事件数为3。由古典概率公式可得：p（ba）=本例中的方法一是条件概率公式直接计算，较方法二、方法三计算量大，对方法二、方法三来说，都采用了缩减样本空间法。但应注意这两种方法是从不同的角度进行缩减。这种解法所选取的原样本空间不同，就如前面所介绍选取适当样本空间那样。方法二是考虑两次取数的试验所产生的样本空间（称之为细分），方法三是考虑一次取数的试验所产生的样本空间（称之为粗分）。这两种解法想比较，方法二容易被接受，但样本点数较多时，计算较麻烦。
15、方法三不容易掌握，但计算简洁。例六 袋中装有2n-1个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，求这种颜色是黑色的概率。解：方法一 我们以袋中2n-1个白球和2n个黑球为考虑的对象。这时从4n-1个球里一次取出n个球有cn4n-1种不同的取法，所以样本空间的样本点数为 cn4n-1设a=取出的n个球是同色球 b=取出的n个球是黑色球由古典概率计算公式可得：p（a）= p（ab）=所以由条件概率公式计算可得：方法二 设a=取出的n个球是同色球，b=取出的n个球是黑色球，现在仅考虑a的前提条件下，我们可知a的缩减样本空间a仅为cn2n+cn2n个样本点，这时b包含的样本点数为cn2n个。所以，所求的概率为：通过以上的例子我们可以看到，在古典概率计算中，只要我们充分掌握了对古典概率的要求，在解题时只要能选取适当的样本空间，复杂的排列组合计算也是可以避免的。当然，以上的例子是笔者经过有意识的选择的，但这种注意样本空间选取的思想是很有用的，掌握它也不困难，但却往往不被人所重视。因此笔者
