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1、北方民族大学学士学位论文论文题目： 克莱姆法则及其应用 院（部）名称： 数学与信息科学学院 学 生 姓 名： 黄春浩 专 业：信息与计算科学 学号：20110437指导老师姓名： 黄永东 论文提交时间： 2015-05-08 论文答辩时间： 2015-05-24 学位授予时间： 北方民族大学教务处制 克莱姆法则及其应用 摘 要 代数学中的主要内容之一便是线性代数, 它运用的范围遍及近现代科学里的很多分支。线性代数领域的主要问题其一便是求线性方程组的解。在这方面一般会通过两种方法来处理，那就是克莱姆法则和消元法。其中消元法在我国古代数学专著九章算术中便有记录，和它记载相近是我们现在学习的矩阵初等
2、变换。相同的方法在西方，到了1826年才被高斯所创建，因此，该方法被命名为高斯消元法。而克莱姆法则，是指利用行列式来求解线性方程组问题，由瑞士数学家克莱姆，经证明而得出的。它不但给出了行列式不等于零的n元线性方程组存在唯一解的条件，并且还将线性方程组的解与系数和常数项组成的行列式间的关系简单明了的表示出来。关键词：克莱姆法则，线性方程组，行列式，广义克莱姆法则IIIAbstractAlgebra is one of the main content of linear algebra, it uses range throughout many branch of modern science
3、.The main problem in the field of linear algebra is that the solution of the linear system of equations. In this respect will generally two kinds of methods to deal with the solution, that is cramers rule and the elimination method. Including elimination method in Chinese ancient math book nine chap
4、ter arithmetic was recorded, and it is similar records we now learn elementary transformation of matrix. The same method in the west, by the year 1826 was Gaussian created, therefore, the method was named Gauss elimination method. Cramers rule, refers to the use of determinant to solve the problem o
5、f linear equations, by Swiss mathematician cramer, proved. It not only gives the determinant.Key words: Generalized Cramers rule, Linear equations, Determinant目 录前 言1第1章 行列式定义2第2章：克莱姆法则的证明32.1克莱姆法则的一般证明方法32.1.1一般的线性方程组32.1.2 齐次线性方程组52.2 克莱姆法则的一个简易证明62.3 克莱姆法则的一个新证明8第3章 克莱姆法则的推广11第4章 克莱姆法则的应用134.1 克莱
6、姆法则在解线性方程组中的应用134.2 克莱姆法则的实际应用16结束语21参考文献22前 言瑞士数学家克莱姆(G.Gramer,1704-1752)在他去世前一年的著作中，首次给出了行列式的定义，并且提出了我们现在所熟知的克莱姆法则。克莱姆法则它出色的地方在于通过系数和常数项组成的行列式，精练的表达出方程组的解。并且当系数行列式不为零时，确定了有唯一解。本文由先给出行列式的概念并引入克莱姆法则，对其进行证明，进而通过总结克莱姆法则的局限性进行推广而得到广义克莱姆法则，又列举出了克莱姆法则在解线性方程组和实际生活中的应用。22第1章 行列式定义首先，作为克莱姆法则的学习基础，我们来介绍一下有关系
7、数行列式的概念。公式1.1为一个线性方程组，方程组中的未知量个数为。 （1-1）被称之为元线性方程组。若方程组中所有的常数项中存在不全为0的项，这时我们称该方程组为一个非齐次线性方程组；如果这个常数项的值全部为0，则该方程组是一个齐次线性方程组。方程组的所有系数单独拿出来，组成一个新的行列式（1-2），用来表示，则被称作是线性方程组（1-1）的一个系数行列式。 （1-2）克莱姆法则（Cramer Rule）：如果（1-1）的系数行列式，那么该线性方程组存在解，这个解是唯一的： （1-3）公式（1-3）中，表示的是一个行列式，将行列式中的第列元素用常数项来代替，其余各列的值保持不变，得到新的行列
8、式。 （1-4） 第2章 ：克莱姆法则的证明有关克莱姆法则的证明方法较多，本文中只选择其中较为典型的三种加以详细介绍。2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1一般的线性方程组通过克莱姆法能够得到三个具体的结论：1.方程组（1-1）有解；2.解是唯一的；3.解由公式（1-3）给出。因此我们的证明步骤是：首先，将作为方程的解代入到方程组中，证明（1-3）是线性方程组的一个解，由此来证明结论1和3。 我们在上一步中已经证明了（1-3）为线性方程组的解，此时，假设方程组有一个解为，只要能够证明。则可以证明方程组的解是唯一确定的，结论2也就可以获得证明。具体证明步骤如下：将作为方程的解代入，得 这一结论
9、表明，行列式（1-3）可以使（1-1）中第一方程的等号成立，同理，行列式（1-2）可以使得（1-1）中剩余方程的等号成立，所以，行列式（1-3）是线性方程组（1-1）的解这一结论成立。我们假设线程方程组的一个解为，把这一解代入到方程组中，可以获得个恒等式，我们用行列式的第列元素的代数余子式与这个恒等式两端分别相乘，将得到的结果求和，可得 即 由,可知 这就是说，如果是方程组（1-1）的一个解，则 则线性方程组（1-1）只有一个解。例 解线性方程组解：方程组的系数行列式：通过该法则可知，该方程有唯一解。又因=13所以这个线性方程组的唯一解为：2.1.2 齐次线性方程组常数项都为0的线性方程组被称
10、作是齐次线性方程组。这种方程组显然有解：称做零解。如果该方程组的解中，不全为0，则说明该线性方程组具有非0解。定理，如果一个齐次线性方程组 （2-1-1）的系数行列式,那么该方程组有零解，且该零解是唯一的。证明:应用克莱姆法则,因为行列式中有一列为零,所以=0,这就是说,它的唯一解是 如果方程组阶系数行列式，且中元素的对应的代数余子式，则此线性方程组存在非零解。证明：由已知得,所以行列式中每一行元素的代数余子式都满足方程组，所以当时，方程组存在非零解。2.2 克莱姆法则的一个简易证明我们在线性代数中，通常会利用二元或三元线性方程组的求解过程来引出克莱姆法则的概念。当两个齐次线性方程组的方程个数
11、一致，未知量个数也一致时，只要系数行列式，就可以推导出方程存在解。是方程有解的充分必要条件。必要条件的证明比较简单，对于充分条件的证明，我们可以先对方程组进行消元变换，引出一条线性方程的基本引理，利用这一条引理来证明这一条件的中分离。同时，利用这一基本引理也可以完成该法则的证明。引理：把线性方程组 (2-2-1)对方程组采取消元变换，使其成为同解方程组。 (2-2-2)经过多次消元变换后，得（2-2-3） (2-2-3)(1) 若,在第一个方程的左右两边同时乘以，把获得的新方程与第方程相加,可以通过方程组(2-2-1)得方程组(2-2-2);(2) 若, 在第一个方程中存在系数,在进行（1）中
12、的计算前，先将第个方程与第一个方程相加；(3) 如果,结论同样成立。用同样方法对 (2-2-1)中剩余的个方程进行同样变换，可以证明该引理成立。克莱姆法则：若线性方程组(2-2-1)系数行列式,则该方程的解存在，且唯一。 ,其中将行列式中的第列元素用常数项来代替，所获得的行列式为。证明：由引理可知，方程组 (2-2-1)与(2-2-3)的系数行列式相等，且方程具有相同的解，。 对方程由下而上进行消元变换，可获得与方程组 (2-2-1)通解的新方程组， (2-2-3)且 再根据行列式的性质, 可得, , ., .于是.定理 系数行列式为齐次线性方程组 (2-2-4)存在非零解的充要条件。首先来证
13、明必要性:利用反证法来对其必要性进行证明。假设。根据克莱姆法则，方程组(2-2-4)有解且解唯一确定，而由已知得齐次方程组(2-2-4)有零解,所以，方程组不存在非零解，这与开始的假设相矛盾。接下来证明充分性: 已知，根据引理可得，方程组(2-2-4)与方程组 （2-2-5）是有同解的, 并且。此时, 最少有一个。我们假设在常数项存在零，且第一个零为，将代入（2-2-5）可得 （2-2-6）新方程组的系数行列式。由克莱姆法则可得，方程组（2-2-6）的解存在且唯一。方程组（2-2-4）的一组非零解为方程组（2-2-6）的解与的组合。2.3 克莱姆法则的一个新证明我们已经在论文的第一章中对克莱姆法则做了详细的介绍。下面介绍一个新的克莱姆法则证明方法。 假设一个方程组中方程个数为与未知量个数都为。其中是系数，是常数项，是未知量。方程组的系数矩阵用表示，系数矩阵行列式的值用表示。用常数项列向量来替换系数矩阵的的第列，变换后的新方阵用表示。若，则线性方程组存在解向量，解向量的值唯一确定。证明：已知，因此是可逆的，将进行初等变换，转换为单位矩阵，用表示将线性方程组进行初等变换，把其对应的矩阵变为单位矩阵。由于，可知具有以下形式：经过初等变换所得到的线性方程组的解相同，单位矩阵具有唯一解向量存。对于任意正整数，成立
