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1、第13讲 三角形面积计算教学目标l 教学目标掌握三角形的面积计算公式；l 学会使用拆补法求解三角形面积；l 通过题目中给定比例关系求解面积比。知识梳理 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。典例分析 例1、已知图
2、121中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AEED，BD=BC，求阴影部分的面积。ABCFED121【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为BD=BC，所以SBDF2SDCF。又因为AEED，所以SABFSBDF2SDCF。因此，SABC5SDCF。由于SABC8平方厘米，所以SDCF851.6（平方厘米），则阴影部分的面积为： 1.623.2（平方厘米）。例2、在ABC中（图12-2），BD=DE=EC，CF：AC=1：3。若ADH的面积比HEF
3、的面积多24平方厘米，求三角形ABC的面积是多少平方厘米？【解析】ADH的面积比HEF的面积多24平方厘米，则三角形ADE的面积比三角形FDE的面积多24平方厘米，又因三角形FDE和三角形FEC的面积相等，也就是说三角形AEC比三角形FEC的面积多24平方厘米，又因多出的24平方厘米,是三角形AEC的面积的23，12-2所以三角形AEC的面积是242/3=36平方厘米，则三角形ABC的面积是361/3=108(平方厘米)，答：三角形ABC的面积是108平方厘米。例3、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图123所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【解析】已知SBO
4、C是SDOC的2倍，且高相等，可知：BO2DO；从SABD与SACD相等（等底等高）可知：SABO等于6，而ABO与AOD的高相等，底是AOD的2倍。所以AOD的面积为： 623。BCDAO12-3126 答：AOD的面积是3。例4、四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图124所示）。124ABCDEF【解析】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三
5、角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。 15345（平方厘米） 答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。例5、如图125所示，BO2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？BADCOE125【解析】因为BO2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知SDBCSCDA；SCOBSDOA4，类推可得每个三角形的面积。所以： SCDO422（平方厘米） SDAB4312平方厘米 S梯形ABCD12+4+218（平方厘米）答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。例6、如图1817所示，长方形ADEF的面积
6、是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。【解析】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。126 由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（162）8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为522.5，所以，三角形ABC的面积为16342.56.5。例7、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分。AOB的面积是2平方千米，C
7、OD的面积是3平方千米，公园陆地面积为6.92平方千米，那么人工湖的面积是多少平方千米？【解析】由BOC与DOC等高h1，BOA与DOA等高h2， 利用面积公式：，得BO：DO=2：3， 即，又得。则湖的面积为：（平方千米）实战演练 课堂狙击1、如图所示，AEED，BC=3BD，SABC30平方厘米。求阴影部分的面积。ABCFDE【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。 305212平方厘米2、如图所示，DEAE，BD2DC，SEBD5平方厘米。求三角
8、形ABC的面积。CBDAEF【解析】 5322平方厘米BCDAO843、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？【解析】 422 824CBDAEFG4、如图所示，已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积。【解析】 15460平方厘米5、如图所示， AD=6，CG=4；求阴影部分的面积。（ABCD为正方形） GABCDE64【解析】 6626426平方厘米 6243平方厘米 （6+3）6227平方厘米6、如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC2AO。求梯形面积。BA
9、DCO【解析】 428平方厘米 8216平方厘米 16+8+8+436平方厘米ABCDEF7、如图1818所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。【解析】 20273 31.5 20751.56.5 课后反击1、如图所示，AE=ED，DCBD，SABC21平方厘米。求阴影部分的面积。【解析】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。ABCFED由于AE=ED,连接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。 21739平方厘米2、已知三角
10、形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。BCDAO【解析】 15345 15+5+15+45803、已知SAOB6平方厘米。OC3AO，求梯形的面积（如图所示）。DBACO【解析】 6（3+1）24 632 24+6+232ABCDFE4、如图1819所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，SABE4平方厘米，SAFD6平方厘米，求三角形AEF的面积。【解析】 20210 （104）2 2064275、底边长为6厘米，高为9厘米的等腰三角形20个，迭放如下图：每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是44厘米回答下列问题：（1）两个三角形的
11、间隔距离；（2）三个三角形重迭（两次）部分的面积之和；（3）只有两个三角形重迭（一次）部分的面积之和；（4）迭到一起的总面积【解析】（1）从图中可看出，有（20-1=）19个间隔，每个间隔距离是（44-6）19=2（厘米）（2）观察三个三角形的迭合画横行的两个三角形重叠画井线是三个三角形重叠部分，它是与原来的三角形一般模样，但底边是原来三角形底的（2厘米），高也是原来三角形高的（3厘米），所以面积为（cm2）每三个连着的三角形重叠产生这样的一个小三角形，每增加一个大三角形，就多产生个一个三次重叠的三角形，而且与前一个不重叠因此这样的小三角形共有20-2=18（个），面积之和是318=54（cm
12、2）。（3）每两个连着的三角形重叠分，也是原来的三角形一般模样的三角形，底边是原来三角形的，高是原高的，因此面积是.每增加一个大三角形就产生一个小三角形共产生20-1=19（个），面积1912=228（cm2）所求面积228-542=120（cm2）（4）20个三角形面积之和，减去重叠分，其中120cm2重叠次，54cm2重叠次 直击赛场 1、图中ABCD是梯形，AECD是平行四边形，则阴影部分的面积是( )平方厘米（图中单位：厘米）。【解析】 阴影部分的面积等于以12为底以10为高的平行四边形面积的一半， 即12102=60（平方厘米）2、如图，已知长方形ABCD的面积是24平方厘米，三角形ABE的面积是5平方厘米，三角形AFD的面积是6平方厘米，那么三角形AEF的面积是（ ）平方厘米。【解析】 连结长方形对角线AC，可知SABC=SACD=12（平方厘米） 因为SAFD=6（平方厘米），所以
