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1、2.2（2） 函数最值与值域的求法（必修1第1章）方法1、观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。例1求函数的值域。 例2求函数的值域。 例3.求函数的值域 方法2、 配方法：对于闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法。例1求函数的值域。 例2.求函数y=-x的值域例3例4. 求函数的值域 例5 例6若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域例7已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x-1,1时的最小值为-3，求实数a的值点评：配方法适合的题型是二次型函数y=Af2(x)+Bf(x)+C。针对性训练：1、求函数的值域
2、. 2、求函数的值域. 3、求函数 的最值.4、求函数的值域. 5、若，求的最小值。6、求函数的值域. 方法3、判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。例1求函数的值域。 例2.求y=的值域。例3例4点评：此法适用型的函数；m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用xR，由0求出y的取值范围，但需注意两点： （1）要分m(y)=0和m(y)0两种情况讨论，只有m(y)0时，才可利用判别式； （2）在求出y的取值范围后，要注意“=”能否取到（3）对形如y=(a,m均不为0)的函数，可用前面判别式法，也可用的均值不等式。针对性训练：1、求函数的值域.2、求函数的最值方法4、反函
3、数法：如果一个函数的反函数存在，那么反函数的定义域就是原函数的值域利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。例1.求y=的值域。例2.求函数的值域。 例3点评：此方法对y=,且其值域为y|y.针对性训练：1、 求函数的值域。 方法5、换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。分为三角换元与代数换元。例1求下列函数的值域（1） (2)例2例3例4、求函数的值域。点评:(1）题用代数换元法，适用于y=(其中f(x)与g(x)均为x的一次式)（2）题用三角换元法，适用于y=(其中f(x)为 x的特殊二次式)（3）换元法是求无理函数值域的常用方法，在设
4、出新元t(或)后，新元的范围的限定要以既不影响x的取值，运算起来又方便为原则。例5（2011天津理）设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是针对性训练：1、求函数的最小值。 2、求函数的最值。 3、求函数的最值。 4（2010江苏卷）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_。方法6 、复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例1求函数的值域。针对性训练：1、求函数的值域 2、已知满足不等式，求函数的值域。 3、(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）A. B. C. D. 方法7、 利用基本不等式求
5、值域：这种方法是利用如下的“基本不等式”和与“复数的模”有关的不等式求函数值域例1求函数的值域。 2求函数（x0）的值域。例3.求函数（x1）的值域。 例4例5例6例7已知，求函数的最大值。例8、已知，且，求的最小值。针对性训练：1、若，求的最大值。 2、若，求得最小值。 3、若，求得最大值。 4、设且，求得最小值。5. (2010重庆文)若函数在处取最小值,则 (A)(B) (C)3 (D)46. (2011重庆文)若实数,满足,，则的最大值是（ ） .7.（2011江苏）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.8（08江西）若函数的值域
6、是，则函数的值域是（ ）A B C D9、（07山东）函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 .方法8、 利用函数的单调性求值域：例1、求函数的值域。 例2 例3例4、求函数的值域点评：对于一些能确定单调性的函数，用此法是最佳选择。 在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则（1）f1(x)+f2(x)是增函数；（2）g1(x)+g2(x)是减函数；（3）f(x)-g(x)是增函数；（4）g(x)-f(x)是减函数但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、“”时，则不具有这种规律针对性训练：1、若函数在2，4上的最大值与
7、最小值之差为2，求的值。2、求函数的值域。3、求函数的值域。 4、（08重庆卷)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）(A)(B)(C)(D)方法9 、数形结合法:如果可能作出函数的图象,可根据图象直观地得出函数的值域。求某些分段函数的值域常用此方法。或者给函数表达式赋予一定的几何意义，进而利用几何图形的直观性求出函数的值域。此种方法解决二元函数的值域非常有效。例1 求函数的值域。 例2例3、求函数的值域。点评：利用图形的几何性质解题，要求对几何知识有非常好的理解能力；适用于较方便利用代数式的几何意义的题目。例4.求函数y=的值域。点评：（1）斜率公式用来解决此类题比较方便，原因
8、是公式简洁、图形上斜率直观。（2）几何法适合题型：较容易地与几何图形联系的题型。针对性训练：1、设，求得值域。 2、求函数 的值域。 3、已知，求得最值。4、求函数的值域。 5、（08浙江卷）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_。方法10 分离常数（或整式）法：对某些分式型的函数进行分离，使函数解析式更为简洁。例1.求y=的值域。例2、求函数的值域点评：类似于y=的函数均适用此法，但这种类型的函数往往也可用反函数法求解。例3、求函数的值域。例4、求函数的值域。例5、例3针对性训练：1、 求下列函数的值域：（1） （2） （3）2、求函数的值域。3、 求函数的值域。方法11.有
9、界性法:充分利用三角函数或一些非负数的式子的有界性，求出值域。例1.求函数的值域。例2 求函数的值域。 例3 求函数的值域。 例4 点评：利用和的有界性求与之有关的有理式的值域问题：针对性训练：1、求函数的值域 2、 求函数的值域总之，求值域的方法多，要灵活掌握各种题型对应的方法，提倡“对号入座”；但又不拘泥于死板的题型与方法，而多开拓出一种题型的多种求值域的方法，从而给解题提供更多的思路，达到迅速、准确解题的目的。 方法12 、分段函数最值得求法例1.（2011湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千
10、米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.针对性训练：1.（2011湖南理）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（）写出的表达式（）设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。2.（2011江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）
