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1、高中必修些重点函数值域求法H一种1复合函数7一、复合函数的概念7二、求复合函数的定义域：7复合函数单调性相关定理8函数奇偶性的判定方法8指数函数：10事函数的图像与性质13函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。1 y例1.求函数x的值域。解：:x010.1.x显然函数的值域是：(，0)(0,)例2.求函数y3Jx的值域。解：:-x0故函数的值域是：，32 .配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。2例3.求函数yx2x5,x1,2的值域。2解：将函数配方得：y(x1)4.x1,2由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4,当x1时，ymax8故函
2、数的值域是：4,83 .判别式法21 xx一，一一y_一例4.求函数1x的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程1当y1时，xR13y-解得：2212当y=1时，x0,而13故函数的值域为2,222例5.求函数VxJx(2x)的值域。-2-/-2c解：两边平方整理得：2x2(y1)xy们.xR4(y1)28y解得：12y12但此时的函数的定义域由x(2x),得x222由,仅保证关于x的方程：2x2(y1)xy在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间,2上,即不能确保方程1有实根，由求出的X围可能比y的实际X围大，故不能确定此函数的值域为132,2可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。,2y
3、min,y1J2代入方程1x1解得：2 .224.2,x1,即当2时，I原函数的值域为：,12注：由判别式法来判断函数的值域时，假设原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的局部剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x4例6.求函数5x6值域。46yx解：由原函数式可得：5y346y3yx-那么其反函数为：5x3,其定义域为：53,故所求函数的值域为：55.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。ex1一，一，y丁例7.求函数e1的值域。xy1e解：由原函数式可得：y1y1-o.
4、y1解得：1y1故所求函数的值域为（1Qcosx一，、一y例8.求函数sinx3的值域。3yy2 11,1解：由原函数式可得：ysinxc0sx3y,可化为:sinx(x即.xRsinx(x3yy21解得:故函数的值域为6.函数单调性法例9.求函数y 2解：令y12x 5 ,y22 .2,4410g 3 Jx 1(2 x 10)的值域。log 3 x 1那么y1,y2在2,10上都是增函数所以yy1y2在2,10上是增函数当x=2时,y minlog 3 2 15当 x=10 时)ymax 2log3 . 9 338,33城X 1的值域。2故所求函数的值域为：例10.求函数y41y解：原函数可
5、化为：令y1vx1,y2/丁石，显然y，y2在1,上为无上界的增函数所以yy1,y2在1,上也为无上界的增函数22所以当x=1时，yy1y2有最小值V2,原函数有最大值、2显然y0,故原函数的值域为（0,后7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。f例11.求函数yx、x1的值域。解：令x1t,(t0)那么xt212123ytt1(t-)724又t0,由二次函数的性质可知当t0时，ymin1当t0时，y故函数的值域为1,)2例12.求函数yx2V1(x1)的值域。2解：因
6、1(x1)0即(x1)21故可令x1cos,0,.ycos11cos2sincos1一一50,044故所求函数的值域为,123xx一，一y-42例13.求函数x2x1的值域。12x1x2y二：2：2解：原函数可变形为：21x1x2x可令x tg ,那么有1 x21 sin 2 ,-2 cosk_1ymax当28时，,4k1,-7,ymin当28时，4而此时tan有意义。11,故所求函数的值域为44x二，二例14.求函数y(sinx1)(cosx1),122的值域。解：y(sinx1)(cosx1)12sinxcosx(t1)令sinxcosxt,那么2由tsinxcosx.2sin(x/4)x
7、且可得:ymax,32故所求函数的值域为422例15.求函数yx455x2的值域。解：由5X20,可得|x|而故可令x.5cos,0,0当/4时，ymax4闻当时，ymin4V5故所求函数的值域为：45,4108.数形结合法这类题目假设运用数形结合法,其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等,往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数VV（x2）2J（x8）2的值域。解：原函数可化简得：y|x2|x8|上式可以看成数轴上点Px到定点A2，B（8）间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，ylx2|x811AB|10当点P在线段AB的延长线或反向延长线
8、上时，V|x2|x811ABl10故所求函数的值域为：10，例17.求函数yJx26x13收4x5的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P（x，）到两定点A（3,2）,B（2,1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB|V（32）2（21）2043故所求函数的值域为43，例18.求函数yCx26x13vx24x5的值域。2222解：将函数变形为：v（x3）（02）.（x2）（01）上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B（2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y|AP|BP|由图可知：1当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P,那么构成AB
9、P,根据三角形两边之差小于第三边，有|AP|BP|AB|.（32）2（21）226即：26y262当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有11Api|BP|AB|石6综上所述，可知函数的值域为：（26,26注：由例17,18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，那么要使A,B两点在x轴的同侧。如：例17的A,B两点坐标分别为：3,2，（2,1）,在x轴的同侧；例18的A,B两点坐标分别为3,2，（2,1）,在x轴的同侧。9.不等式法利用根本不等式ab2Jab,abc33/abc（a,b,cR）,求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式
10、是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。y(sinx例19.求函数解：原函数变形为：1 2 /1 x2) (cosx )4 sin xcosx的值域。,x k即当4时出故原函数的值域为:z),等号成立5,)例20.求函数y 2sinxsin2x的值域。解：y 4sin xsin x cosx, 一 .，. 2 一当且仅当sin x 222sin x264,y hr由 27可得:8 3-V ysin,即当8、. 3923时，等号成立。故原函数的值域为:10. 一一映射法8398 39，y原理：因为另一个变量X围。axcx d(c 0)一在定义域上x与y是一一对应的。故两个
11、变量中，假设知道一个变量 X一 ,，y例21.求函数1 3x2x 1的值域。解：定义域为1 3x2x 1得2y1 y2y 32yy 3或y解得 2故函数的值域为11.多种方法综合运用x 2一 ，一一 y ，一， 例22.求函数 x 3的值域。解：令t & 2(t 0)，那么t2 1当且仅当tanxcotx11当t 0时，2当 t=0 时，y=0。210，2,当且仅当t=1,即x1时取等号，所以综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法2341x2xxx一，一y-24,t例23.求函数12xx的值域。2412xx解:_ 21 2x21 2xtan 一2 ,那么1 x22cossin当, y
12、 max4时，1716当sin1 时，ymintan一此时2都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在构造方面的某种特点，因此，根据复合函数构造，将它折成几个简单的函数时，应从外到
13、里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么这样的复合函数不存在。f(u) = u 2与g(x) = x + 1两个函数复例：f(x+1)=(x+1)2可以拆成y=f(u)=u2,u=g(x),g(x)=x+1，即可以看成合而成。二、求复合函数的定义域：1假设f(x)的定义域为axb,那么fg(x)中的ag(x)b,从中解得x的X围，即为fg(x)的定义域。例1、y=f(x)的定义域为0,1,求f(2x+1)的定义域。答案：-1/2,0例2、f(x)的定义域为0,1，求f(x2)的定义域。答案：-1,12假设fg(x)的定义域为m,n那么由mxn确定出g(x)的X围即为f(x)的定义域。例3、函数f(2x+1)的定义域为0,1，求f(x)的定义域。答案：1,33由fg(x)的定义域，求得f(x)的定义域后
