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1、1、 解方程 1解： 令，则， ， 两边积分得 即为方程的通解。3解方程 解：令 则： 即 得到 故 即 另外也是方程的解.4解方程 。解： 两边同除以，方程可化为： 令，则 即 两边积分得 5、解方程解：两边同乘以得：故方程的通解为：7解方程 ，并求其奇解。解：令，则，两边对x求导，得 从得 时，；从得 ，为参数，为任意常数.经检验得，（）是方程奇解.8解Ricccati方程解：原方程可转化为：观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，代入（*）式得到：由（*）-（*）得：变量分离得：两边同时积分：即：故原方程的解为 11、求具有性质 的函数，已知存在解：令t=s=0 x(0)= 若x(
2、0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t.12、试求分别具有形式为的积分因子各自的充要条件。解：若方程具有为积分因子， （是连续可导）令 ， .， ， ， 方程有积分因子的充要条件是：是的函数，此时，积分因子为 . 令 ，此时的积分因子为14、试证明方程： 的任意解的存在区间都是有限的。证明 显然，方程过的解均存在唯一，而且均可延伸至无穷，但这并不意味解关于可以无限延拓。下证它的存在区间有限。设是方程适合初始条件的解。令其右方的最大
3、存在区间为。若，则存在区间显然有限。若，取适合，则在上有 或 ，两端从到积分得。由此可得 ，。因此，解的最大存在区间有限。同理可证左方最大存在区间也是有限的。15、如果函数于带域上连续且关于满足利普希茨条件，则cauchy问题的解于整个区间上存在且唯一，试证明之。证明: 证明方法类似于教材中定理1.由教材中命题1我们知，方程满足条件的解等价于求积分方程，的连续解，因此我们只要证明上述积分方程的解的存在唯一性即可。现取 ， 易见在上存在且连续。下面证明函数列在上一致收敛。考察级数 ，。 取，由式有 , 及 .利用利普希茨条件及，得到于是根据数学归纳法可知：。上式右端是正项收敛级数的一般项。由Weierstrass判别法，知级数在上一致收敛，因而函数列在区间上一致收敛。现设，易知在区间上连续，且在区间上一致收敛于。因而对式两端取极限，即得，解的存在唯一性得证。
