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1、第八章 成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性第八章新课程标准素养风向标1.了解变量的相关关系及散点图.2.会求变量的相关系数.1.了解变量的相关关系.(数学抽象)2.能利用散点图判定变量的相关性.(直观想象)3.能根据给定的条件求样本的相关系数.(数学运算)基础预习初探基础预习初探主题1变量的相关关系在科学实验、社会生产和经营活动中,经常要对变量之间的关系进行分析.考察居民家庭储蓄与居民家庭收入这两个变量的关系,回答下列问题:1.居民家庭储蓄与居民家庭收入之间存在完全确定的关系吗?提示:它们之间不存在完全确定的关系.收入水平相同的家庭,他们的储蓄额不尽相同;储蓄额相同的家庭,他们的收入
2、水平也可能不同.2.家庭储蓄除了受到家庭收入的影响,还受到哪些因素的影响?提示:如银行利率、消费水平等,也可能影响家庭储蓄.3.通过对大量数据的观测与研究,人们发现许多变量之间确实存在着一定的客观规律.你能举出一些例子吗?提示:例如,在企业生产中,为控制成本,要对影响生产成本的各种因素进行分析;在农业生产中,为确定施肥量,需要研究农作物产量与施肥量之间的关系;在商业活动中,为了解广告费支出对销售量的影响,需要分析广告费支出与销售量之间的关系等.结论:1.相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.2.散点图:每个编号下的成对样本数据都可
3、以用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图.3.正相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,则称这两个变量正相关.4.负相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关.5.线性相关:如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,称这两个变量线性相关.【对点练】1.下列两个变量具有相关关系的是()A.角度和它的余弦值B.圆的半径和该圆的面积C.正n边形的边数和它的内角和D.居民的收入与存款【解析】选D.A,B,C中两变量是确定的函数关系.2.在下列各图中,相关关系最强的是()【解析】选A.对于A,图中各
4、点呈带状分布,这组变量具有较强的线性相关关系;对于B,C,D,样本点呈片状分布,两个变量的线性相关关系相对较弱,或不具有相关关系.主题2样本相关系数r的正负及大小如何反映两个变量的线性相关程度?提示:r为正数时,表明两个变量为正相关;r为负数时,表明两个变量为负相关;|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强;|r|越接近于0,成对样本数据的线性相关程度越弱.【对点练】对两个变量的四组数据进行统计,获得以下散点图,关于两个变量相关系数的比较,正确的是()A.r2r40r3r1B.r4r20r1r3C.r4r20r3r1D.r2r40r1r3【解析】选A.由样本相关系数的定义以及散点图的含
5、义,可知r2r40r3r1.【跟踪训练】已知变量x,y相对应的一组数据为(10,1.5),(11,3.2),(11,8.3),(12.5,14),(13,5),变量x,y相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),用r1表示变量x与y之间的线性相关系数,用r2表示变量x与y之间的线性相关系数,则有()A.r2r10B.0r2r1C.r20r1D.r1r20核心互动探究核心互动探究探究点一变量间相关关系的判断【典例1】(1)下列说法错误的是()A.正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系B.人的身高与视力之间的关系是相关关系C.汽车的质量和汽
6、车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关关系D.数学成绩与语文成绩之间没有相关关系【思维导引】根据相关关系及函数关系的定义判断;【解析】选B.正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系,故A正确,不符合题意;人的身高与视力之间不具有相关关系,故B错误,符合题意;汽车的质量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关关系,故C正确,不符合题意;数学成绩与语文成绩之间不具有相关关系,故D正确,不符合题意.(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如表所示.年龄x/岁123456身高y/cm788798108115120画出散点图;判断y与x是否具有线性相关关系.【思维导引】在坐标系内描出各点,根据点的分布判
7、断是否具有相关关系.【解析】散点图如图所示.由图知,所有数据点大致分布在一条直线附近,因此,认为y与x具有线性相关关系.【类题通法】1.两个变量x和y具有相关关系的判断方法:散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断;表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断;经验法:借助积累的经验进行分析判断.2.判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.提醒:如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,那么变量之间就具有相关关系.【定向训练】1.下列关系
8、中,属于相关关系的是(填序号).正方形的边长与面积之间的关系;一个人的身高和右手的拃长之间的关系;出租车费与行驶的里程;降雪量与交通事故的发生率之间的关系.【解析】中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;中,一个人的身高和右手的拃长之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;为确定的函数关系;中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.答案:2.判断下列两个变量之间是否具有相关关系:(1)月平均气温与家庭月用电量;(2)一天中的最高气温与最低气温;(3)某企业生产的一种商品的销量与其广告费用;(4)谷物的价格与牛肉的价格;(5)在公式LW=12中的L与W.【解析】(1)月平均气温的高低不受
9、家庭月用电量的影响,两个变量之间不具有相关关系;(2)一天中的最高气温不受最低气温的影响,两个变量之间不具有相关关系;(3)企业生产的一种商品的销量除了受其广告费用的影响外,还受其他因素的影响,比如商品的质量等,因此这两个变量之间具有相关关系;(4)谷物的价格不受牛肉的价格影响,两个变量之间不具有相关关系;(5)在公式LW=12中,给定L一个值,W有唯一确定的值与之对应,是函数关系,不具有相关关系.【跟踪训练】下列散点图中,变量x,y不具有相关关系的是()【解析】选D.由变量相关关系定义,如果散点大部分分布在一条曲线附近,就说两变量具有相关关系,选项D的散点没有这一特征,故不具有相关关系.探究
10、点二样本相关系数的求解【典例2】某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现收集了4组对照数据.x3456y2.5344.5【类题通法】利用相关系数判断变量间相关关系的方法首先根据样本相关系数的计算公式计算r的值,然后根据|r|的大小判断两变量的相关关系.当|r|越接近于1时,成对数据的线性相关程度越强;当|r|越接近于0时,成对数据的线性相关程度越弱.【定向训练】已知某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.97,这说明二者之间的线性相关程度(填“较高”或“较低”).【解析】由|-0.97|比较接近1知,二者之间的线性相关程度较高.答案:较高课堂素养达标课堂素养达标1.观察下列四个散点图,两变量具有线性相关关系的是()【解析】选A.直接根据相关关系的定义判断,显然只有A正确.2.相关系数是度量()A.两个变量之间线性相关关系的强度B.散点图是否显示有意义的模型C.两个变量之间是否存在因果关系D.两个变量之间是否存在关系【解析】选A.相关系数是度量两个变量相关性关系强弱的一个量,当r的绝对值越接近于1,相关性越强;反之,相关性越弱.3.已知数据点(xi,yi)(i=1,2,3,n)在一条直线上,则相关系数r=.【解析】由题易知,相关系数r=1.答案:1
