固体物理试题素材

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1、一. 填空(20 分, 每题 2分)1. 对晶格常数为 a 的 SC 晶体,与正格矢 R=ai+2aj+2ak 正交的倒格子晶面族 的面指数为(), 其面间距为().2. 典型离子晶体的体积为 V, 最近邻两离子的距离为 R, 晶体的格波数 目为(), 长光学波的()波会引起离子晶体宏观上的极化.3. 金刚石晶体的结合类型是典型的 ( ) 晶体 , 它有 ()支格波 .4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时 , 电子平行于晶面族的平均速 度()零, 电子波矢的末端处在()边界上.5. 两种不同金属接触后 , 费米能级高的带() 电.对导电有贡献的是 ()的电子.二. (25 分)1证明立方晶

2、系的晶列hkl 与晶面族(hkl)正交.2. 设晶格常数为a,求立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的面间距.三. (25分)设质量为m的同种原子组成的一维双原子分子链，分子内部的力系数为卩,1分子间相邻原子的力系数为卩，分子的两原子的间距为d,晶格常数为a,21. 列出原子运动方程.2. 求出格波的振动谱(q).四. (30分)对于晶格常数为 a 的 SC 晶体1. 以紧束缚近似求非简并s态电子的能带.2. 画出第一布里渊区110方向的能带曲线, 求出带宽.兀兀3. 当电子的波矢k= a i+ a j时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数.1.1 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选

3、取的?解答在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称 性.1.2 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?解答六角密积属六角晶系, 一个晶胞（平行六面体）包含两个原子.1.3 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？解答晶体中原子间距的数量级为10 -10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10-10米 但可见光的波长为7.64.0x 10 -7米 是晶体中原子间距的1000倍.因 此, 在晶体衍射中，不能用可见光.2.1 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排 斥力, 如何解释?解答共价结合, 形成共

4、价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭 使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交 迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.2.2 为什么许多金属为密积结构?解答金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要 尽可能的低（绝对值尽可能的大）. 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.3.1 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？解答为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨

5、论晶格振动时，将原子间互作用力的泰 勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似.在简谐近似下，由N个原子构成的晶体的 晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的振动.每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动 ， 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动 方式.原子的振动，或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事， 这个数目等于晶体中所有原子 的自由度数之和， 即等于 3N.3.2 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?解答长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动， 振动频率较高， 它包含了

6、晶格振 动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移， 原胞做整 体运动， 振动频率较低， 它包含了晶格振动频率最低的振动模式， 波速是一常数. 任何晶体 都存在声学支格波， 但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波.3.3 温度一定，一个光学波的声子数目多呢， 还是声学波的声子数目多?解答频率为的格波的（平均）声子数为1n （w）=e 方w/ kBT - 1 .因为光学波的频率W O比声学波的频率W A高,（e ” O kBT -】）大于（e ” A / kBT - 1）,所以在温度 一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.3.4 长声学格

7、波能否导致离子晶体的宏观极化?解答长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化 , 其根源是长光学格波使得原胞内不同的 原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是 , 原胞内所有的原子没有相对位移 . 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.3.5 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？解答实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光 学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收 远红外光波.3.6 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?解答按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为

8、 1013 Hz , 属于光学支频 率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波 . 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的 根源.3.7 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?解答在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得 到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对 热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.4.1 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?解答波矢空间与倒格

9、空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为S 2、3，而波矢空间的基 矢分别为bi/Ni、b 2/ Njb 3/ N 3 , NN2 N3分别是沿正格子基矢“ 1、“ 2、“ 3方向晶体的 原胞数目.倒格空间中一个倒格点对应的体积为b - (b x b ) = O *123,波矢空间中一个波矢点对应的体积为b b b Q *L . ( L X k)=N N N N ,123,即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1/N. 由于 N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是 极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极

10、其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处 理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.4.2 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?解答电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带 . 若电子所处的边界与倒格矢Kn 正交,则禁带的宽度E = 2V (K )|gnV (K n) 是周期势场的付里叶级数的系数.不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零 , 即电子的等能面与布里渊区边界正交4.3 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? 解答晶体中的电子除受外场力的作用外,

11、还和晶格相互作用. 设外场力为 F, 晶格对电子的 作用力为 Fl, 电子的加速度为1a =(F + F l)m l .但巧的具体形式是难以得知的.要使上式中不显含F；又要保持上式左右恒等，则只有1a = Fm * .显然，晶格对电子的作用越弱，有效质量m*与真实质量m的差别就越小.相反，晶格对电子 的作用越强，有效质量m*与真实质量m的差别就越大.当电子的波矢落在布里渊区边界上 时， 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上， 各格 点的散射波相位相同， 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作 用很强， 所以其有效质量与真实质量有显著差

12、别4.4电子的有效质量m *变为3的物理意义是什么? 解答仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化(d已)外场力对电子作的功(d E)外场力对电子作的功m(d E)+晶格对电子作的功mm外场力对电子作的功-(dE)电子对晶格作的功从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时，电子的有效质量m*变为 3 . 此时电子的加速度1a = F = 0 m *，即电子的平均速度是一常量. 或者说， 此时外场力与晶格作用力大小相等， 方向相反.4.5 紧束缚模型下， 内层电子的能带与外层电子的能带相比较， 哪一个宽? 为什么?解答以s态电子为例.由图5.9可知，紧束缚模型电子能带的宽度取决于

13、积分Js的大小，而 积分*J = J 申 at (r)V (r) V at (r R )g at (r R )drsn Q sn sn的大小又取决于申r(r)与相邻格点的申r(r Rn)的交迭程度.紧束缚模型下，内层电子的申:(r )与申r (r- R n )交叠程度小，外层电子的申(r )与申7 (r R n )交迭程度大.因此， 紧束缚模型下， 内层电子的能带与外层电子的能带相比较， 外层电子的能带宽.4.6 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？解答将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量k/和垂直于布里渊区边界的分量k丄 则由电子的平均速度1 v = V E(k)h

14、k得到1 d Ev = h a k/ ，1 a ev =丄 h a k丄.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交，则在布里渊区边界上恒有aE /ak丄=0,即垂直于界面的速度分量v丄为零.垂直于界面的速度分量为零，是晶格对电子产生布拉格反射的结 果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.5.1 一维简单晶格中一个能级包含几个电子?解答设晶格是由N个格点组成，则一个能带有N个不同的波矢状态，能容纳2N个电子.由 于电子的能带是波矢的偶函数，所以能级有(N/2)个.可见一个能级上包含4个电子.5.2 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?解答在低温下， 本征半导体

15、的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄， 禁带宽 度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄， 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发， 跃迁到禁带上面空带的底部， 使得满带不满， 空带不空， 二者都对导电有贡献.6.1 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?解答自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密 能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状 态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状 态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.6.2 为什么温度升高, 费密能反而降低?解答当T工0时，有一半量子态被电子