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1、1、2、3、4、5、第一套线性代数模拟试题解答、填空题(每小题 4 分，共 24 分)若aa a a a是五阶行列式中带正号的一项，则1i 23 35 5 j 44i = 1_, j = 2。令 i = 1, j = 2， t (12354) + 兀(13524) = 1 + 3 = 4，取正号。 若将阶行列式D的每一个元素添上负号得到新行 列式D，贝yD=(-1)n D即行列式d的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D(-1)nD设l则 A100 = 1T)。r1 0设a为5阶方阵，|a| = 5，则|5A| =由矩阵的行列式运算法则可知:A为n阶方阵,AAt = E且由 已 知A2 二1、
2、i丿2 )r 11人01、1丿5n+1|aat| = |a|atAAT = E n而：|A + E =6、设三阶方阵 A =|5A| = 5n |A| = 5n+1 |a| 0,则 | a+e =0_o条需e = 1 n |a| = 1, n |a| = -19a+aa” = |a|r 2 0 0 )0 X y0 2 3 丿E + At = |A|A + E = -|A + E| n |A + E = 0可逆，则 x, y 应满足条件3 x 丰 2 y可逆，则行列式不等于零：2 0 0|A| = 0 x y = 2 x (3x - 2y)丰 0 n 3x 丰 2y。0 2 3、单项选择题（每小
3、题 4 分，共 24 分）7、设aiia12a，13aaa = M 丰 0212223aaaAO313233则行列式-坷1- 2a12-2a132a31- 2a32-2a33 =一 2a 21- 2a22223A.8MB.2MC.- 2 MD.8M-2a-2a-2aaaaaaa由于11-2a31-2a2112-2a32-2a2213-2a33-2a23= (-2 )311a31 a211213aa3233aa2223= (-8)(-l)11a21a3112a22a3213a23a33=8M8、设n阶行列式D，则D = 0的必要条件是_D _。nnA D 中有两行（或列）元素对应成比例nB D
4、中有一行（或列）元素全为零nC. D中各列元素之和为零D.以D为系数行列式的齐次线性方程组有非零解nn9、对任意同阶方阵A,B，下列说法正确的是 CA. （AB）-1 = A-iB-i B. A + B = A + B c. （AB）t = BtAt d. AB = BA10、设A, B为同阶可逆矩阵，九鼻0为数，则下列命题中不正确的是 BD. (AT)-1 = (A-1)TA. (A-i)-i = Ab.(九A)-i =九A-i c. (AB)-1 = B-1 A-i由运算法则，就有（九A）-1 =耳A-1 O11、设a为n阶方阵，且|A| = a丰0，则|A*| = _C_o1A. aB.
5、C.a n-1D. a n因为 A* = |A| A-i n A* = A A-i = |A|n A-i = |A|n - |A|_1 = |A|n_101210 12、矩阵3-102的秩为2，则a = DI-1a2-2丿A. 2B.3C.4D.5/12 10、12 10通过初等变换，由秩为2可得：3 -10 20 一 -3 2-1 a 2 2少 a-5 0 g三、计算题（每小题7分，共42分）4111141113、计算行列式：114111144111711111111111解：1411741114110300=77=7 x 33=1891141各列加到7141第一列提1141第一行乘T003
6、0第一列上到外面加到各行上1114711411140003a00b110ab014、计算行列式：0220ba33b400a4解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：a001abab0ab22220220=a bab1ba = （aa -bb ）（a a -bb ）。ba1 33331 41 42 32 333abb400a444（1 一九）x 2 x + 4 x = 012315、问九取何值时，齐次线性方程组 2x + （3-九）x + x = 0有非零解。123x + x + （1尢）x = 0123解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：1-九-240-34-(1九)20=23-九1
7、01-九-1+21=-（九-3）（2九）人111九沛)111-九n九=0,九 =2,九=312316、(2 0 )设矩阵A二3113 1丿(-1B 二I 21)5 ，计算 B2 - A2(B-1 A)-1。5丿解：因为|A| = 2, B = -7，所以都可逆，有B2 - A2(B-1A)-1 = B2 - A2A-1B = B2 - AB = (B - A)B = P1 )(-11 ) (5 2 )5丿I9 19丿0 1 0)(1 -1)17、解矩阵方程AX + B = X,求X,其中A =-1 1 1, B =2 0-1 0 -1 丿5 - 3 丿解：0)(52)-1(1-2)(1n A
8、-1 =,A -1 =A2丿1 21丿-25丿2(1-200)(AA =110-2 )-1 = ( 1/31丿卜32/3、1/3丿(A-1A-1 =100)A2-1 丿-2050001/3230-1/3 1/3 丿解: AX + B = X n (A E)X =-B n X =-(A E)-1B ,(0 - 2/3 -1/3 (3 -1)n (A - E)-1 =1-2/3 -1/3n X =-(A-E)-1B =2 0 01/3-1/3,(5221000)018、设 A =001-2 0011丿利用分块矩阵计算A -1。四、证明题（每小题5 分，共10 分）19、设n阶方阵A满足（A + E
9、=0，证明矩阵A可逆，并写出A逆矩阵的表达式。A(A2 + 3A + 3E) = -E，证明：因为(A + E=A3 + 3A2 + 3A + E = 0 n从而 A(A2 3A 3E) = E n At = A2 3A 3E。20、若矩阵AT = A，则称矩阵A为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩 矩阵。证明：设A为n阶反对称矩阵，n为奇数，则A = At n |A| = At = （1）n At = |A| n |A| = 0，所以A不可逆，即A不是满秩矩阵。第二套线性代数模拟试题解答、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1、A为3阶方阵，且|A| = -2, A*是A的伴随矩
10、阵，则|4A-1 + A*| =-4因为：A* = A|A-1 =2A-1 n |4A-1+A* = |4A-1 2A-1 = 2A-1 = 8 A-1 =-4。 1 0 2、2、A 为 5X3 矩阵，秩（A ）=3, B = 0 2 0,则秩（AB ）= 3 o0 3 丿因为B可逆，AB相当于对A作列初等变换，不改变A的秩。3、a, a ,卩，卩，卩均为4维列向量，A = （a,卩，卩，卩），B = （a ,卩，卩，卩）,1 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3|A| = 1， |B = 4，则 |A + B =40 oA+B = (a +a，2P，2P，2P ) n|A+B =
11、|(a +a，2P，2P，2P )1123 P，P，P )= 8(1+ 4) = 40。+a，P，P，P ) = 8，P，P，P I_1 112312123/1111213 I-4i+a，ir 1r 114、 a =2， P =3、1,2,且 a t P = 4，则 t =(t a tP =(1 2 1)3 = t + 6 + 2 = 4 n t = -4。 2丿5、如果n元非齐次线性方程组AX = B有解，R （A） = r，贝当时有唯一解;当Jn时有无穷多解。非齐次线性方程组有解的定义。r 2 ffi11ff3116、设四元方程组 AX = B 的 3 个解是 a ,a ,a 。其中 a =fi1,a +a =f
