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1、 关节八 审题与解法探寻的策略任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。一、 审题的策略1、研究背景 绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。例1 如图，已知。ABC（1）请你在BC边上分别取两点D
2、，E，（BC的中点除外）连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。ABCDE（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明【观察与思考】研究背景对于（1），通过画草图，如图（1），其中除了外，还有五个三角形，它们由顶点A引的高都相等，易知只有在“”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。对于（2），要证明，由“要证线段的不等应借于三角形中三边的关系”这一基本认识，结合（1）中的，立刻想到将平移至（1），再进行推导。解：（1）略；（2）证明：如图（1），分别过点D，B作CA，EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点。ABCDEFG
3、在和中，又有，在中，在中，。（1）即【说明】对于（2）的如上的证法，是以对（1）的基础上背景图形（1）特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系”这一基本模式的深刻掌握，才自然而顺利地形成的。例2 一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完预计的购机款61000元，设购进A型手机部，B型手机部，三款手机的进价和预售价如下表：手机型号A型B型C型进价（单位：元/部）90012001100预售价（单位：元/部）120016001300（1）用含，的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出与之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出
4、，综合考虑各种因素，该手机经销商在购进这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元。求出预估利润（元）与（部）的函数关系式；（注：预估利润=预售总额购机款各种费用）。求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部？【观察与思考】梳理本题的数量关系背景：背景一：三款手机的进价和预售价（如题中的表所示）背景二：购进A型、B型、C型三款手机共60部，即；背景三：购进60部手机恰好用61000元，即；对以上三方面的背景进一步研究，可知：、对于问题（1），由背景二即可明确解答。、对于问题（2），显然单由背景二不能解决，若将背景二和背景三相结合，则两个交量（和），在两个关系中（背景二和背景三所确定的
5、两个等量关系），便相依存地联系在了一起，这正是我们在函数部分指出的建立函数关系的第三条途径，通过等式导出函数关系式。、对于问题（3），有了问题（1）、（2）的解决，再根据背景三，可由“直接列式法”写出与的函数关系式进而解决最大利润问题。解：（1）；（2）由题意和（1）得：，从中可导出：（3）由题意，得，整理得购进C型手机部数为：，根据题意列不等式组得，解得的范围为，且为整数，是的一次函数，随的增大而增大。当取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元。此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部。【说明】由本题可以看出，只有全面而深入地研究背景，把握每一背景的作用和互相结合的意义，
6、才有助于正确而快速地获得问题的解决方法。 从背景的本质特征，背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻，是审题的根本任务，也是解法获得的基础。2、研究“过程 有的题目的条件或背景的一部分表现为一种活动过程，而在题目的呈现中，这样的“过程”只是被描述出，或部分呈现出，其全部的意义和性质，大都隐含在“过程”之中，在此情况下，深入而全面地研究“过程”，便是解法获得的关键。AB例3 如图，边长为1的等边三角形位于坐标系中的的位置，AB在轴上，点A与原点O重合，现将在轴上向右滑动地连续翻转，第次翻转后变换到的位置记为，则的坐标为 。【观察与思考】 对于的连续翻转过程做如下的研究：研究：在图上画出更多的后
7、续过程，如图（1）研究：找出点的坐标在翻转过程中的变化规律，由（1）可以看出：（）当为整数，下同时，的坐标为）（）当或2）时，的坐标为；而的坐标为即（）。AB解：应填（）（1）【说明】题目所给的图示，不足以形成对规律的观察和归纳，因此从以上两个角度深化对“过程”的研究，促成了规律的得到和解法的形成。例4 如图（1）和（2），在等腰梯形ABCD中，AB/DC，。等腰直角三角形的斜边A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动， 等腰直角三角形沿AB所在直线以的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。ABCD（N）PMABCDPM（N）设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰
8、梯形ABCD重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式。（1）（2）【观察与思考】第一，研究背景图形：、等腰直角三角形的数量与位置（略）、等腰梯形ABCD的形状、数量和位置（略）、两个图形的初始位置关系（略）第二，研究运动的全过程：PM（N）ABCD、从图形上感知运动的全过程：PMNABCDPMNABCDNBCPMADB（1）（2）（3）N（B）CPM（A）D（4）（5）、在观察的基础上总结规律： 可以看到重叠部分形状的变化，在和相交时均为等腰直角三角形；在和相交时，均为等腰梯形，因此，重叠部分面积的计算应分相应的两段进行，而两段分界的时间就是过点D的时刻。、确定出分界的时刻：在图（6）中，过D作
9、，交于点，作交MB于点。易知：当点移动到时，ABCDPM（N）移动到D，即和DC交于点D，而，可知过点D的时刻为。（6）这样，在时，重叠部分的图形为等腰直角三角形，时，重叠部分的图形为等腰梯形，分别计算面积即可。简解：当（如 图（2）当时，（见图（4），为平行四边形，为等腰梯形ABCD的高），易知，当当【说明】当整个过程出现不同的制式或不同的对应规则时，必须分段处理，但为什么分段和如何分段正是建立在对“过程”深入而全面研究的基础上的。 当一个题目和“过程”相关时，必须全面深入地去研究“过程”这是审题活动不可或缺的一部分。二、关于解法的探寻 解法的探寻是解题活动的中心，它是相关知识与思考策略正确
10、使用及结合的产物，其表现形式丰富多彩，且常因人而异，我们只能择其要者和常用的方法提供给同学们参考。1、向基本模型和基本模式化归 我们所学的数学知识，集中体现为一些基本模型，如“方程模型”、“函数模型”、“直角三角形模型”、“相似三角形模型”等，以及一些基本模式，如数、式的算法和公式 ，基本图形的基本性质和图形关系等。几乎所有的数学问题都要化归到这些基本模型或基本模式才能解决。因此，“将问题化归到基本模型或基本模式”就是最高超的数学能力，当然也是解法探寻最为重要的思考策略。例1 在某次数字变换游戏中，我们把整数称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”。（
11、1）请把旧数80和26按照上述规则变换为新数；（2）经过上述变换后，我们发现许多旧数变小，有有断言：“按照上述变换规则，所有的新数都不等于它的旧数”。你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；（3）请求出按照上述规则变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）【观察与思考】对于 （1），按规定计算即可；对于（2），应化归到方程来解决；对于（3），为了建立旧数与所变新数之间的差和旧数之间的对应关系，当然要引入“函数”。解：（2）不对，设这个数为，满足即。解得。不符合这一说法的旧数有0和100。（3）设旧数为，变换后减少的最为，则时，有最大值25，即变换后减少最多的旧数是50。【说明
12、】在这里，正是由于正确而及时地将问题化归到方程和函数，才使问题获得规范而迅速的解决。ABCD例2 如图，在矩形ABCD中，线段，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN矩形。令当为何值时矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？ 【观察与思考】在我们搞清楚题目背景和要解决的问题之后 ，自然地就会形成EFMNGH如下的几点认识：第一， 在本题，矩形EMNH的边EM被另一边MN所决定，因而其面积也就被边MN所决定，也就是说，矩形EMNH的面积是其一边“MN的函数”，本题就是研究这个函数的“最值”问题的，因此，必须先把这个函数求出来。第二，由矩形MFGN
13、矩形，可知，这样，矩形EMNH中应有：，因此，矩形EMNH的面积S关于MN的函数表达式容易建立起来。解决的方法就这样确立了出来。解：设MN的长为，则由矩形MFGN矩形，得，即。当MN的长为时，矩形EMNH的最大值为。【说明】认识到这是函数，然后建立函数，再利用函数性质（这不就是函数“三个支点”吗？）正是恰当地运用了“函数模型”使本题解答自然流畅，简易明快。ADCBMN例3 如图，在梯形中，分别是的中点，若与互余，则与的关系是（ ）A、 B、C、 D、ADCBMNFE 【观察与思考】充分审题后知道应把互补的两角集中于一个三角形中，为此将AB平移至DE处，如图（1），则易知中，MN平移至DF处，则，（1）即F为斜边CE的中点，当然有。也即有。解：应选C。【说明】在这里，根据题目背景，认识到并实施化归到“直角三角形”是关键。ADBCE例4 现有一张矩形纸片如图（1），其中，点E是BC的中点，实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形内，记为点。（1）请用
